Возможно ли увольнение через месяц после приёма на работу без отработки, если ТД не подписан?

Здравствуйте, Юлия.

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.
ст. 67, «Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 29.07.2017)

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
ст. 80, «Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 29.07.2017)

 В случае когда работник фактически допущен к работе без оформления трудового договора (часть вторая статьи 67 настоящего Кодекса), условие об испытании может быть включено в трудовой договор, только если стороны оформили его в виде отдельного соглашения до начала работы.
ст. 70, «Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 29.07.2017)

Если в период испытания работник придет к выводу, что предложенная ему работа не является для него подходящей, то он имеет право расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя в письменной форме за три дня.
ст. 71, «Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 29.07.2017)

Таким образом, можно сделать вывод, что с вами заключен трудовой договор (хотя и не оформлен в письменной форме) без испытательного срока.

Следовательно, вы обязаны уведомить работодателя об увольнении за две недели. Единственный рычаг давления на работодателя в вашем случае — угроза пожаловаться на то, что с вами не оформлен трудовой договор в нарушение требований ТК РФ. Однако, это имеет смысл только в том случае, если есть запись в трудовой книжке, уплачивалась заработная плата официально (например, на карту), за вас уплачивались взносы в фонды и налоги, т.е. можно доказать, что вы фактически были допущены к работе и нет необходимости в судебном порядке устанавливать наличие трудовых отношений.