Может ли работодатель выдать трудовую с записью об увольнении, если работник не писал заявление?

Добрый день, Ольга! Однозначно, работодатель грубо нарушает нормы ТК РФ. Если магазин закрывается, то есть прекращается деятельность ИП, то вас должны уведомить об этом письменно и под роспись не менее чем за 2 недели, если иной срок не установлен ТД (т.к. работодатель ИП), не в день закрытия. Порядок увольнения в связи с сокращением численности или штата работников установлен в ТК РФ. Этот порядок распространяется и на тех, кто работает по срочным трудовым договорам. По истечении срока предупреждения вас можно уволить, при этом ИП должен выдать трудовую книжку и произвести расчет по безработице для СЗН. Можете поаловаться в ГИТ или прокуратуру, если работодатель откажется соблюдать порядок, предусмотренный ТК РФ.http://www.garant.ru/consult/work_law/586568/

Выходное пособие выплачивается при прекращении деятельности ИП только в случаях предусмотренных трудовым договором.

ТК РФ, Статья 307. Прекращение трудового договора

Помимо оснований, предусмотренных настоящим Кодексом, трудовой договор с работником, работающим у работодателя — физического лица, может быть прекращен по основаниям, предусмотренным трудовым договором.
Сроки предупреждения об увольнении, а также случаи и размеры выплачиваемых при прекращении трудового договора выходного пособия и других компенсационных выплат определяются трудовым договором.

В такой ситуации вы много чего можете попросить: признать трудовой договор бессрочным, расторгнуть трудовой договор по сокращению или по соглашению сторон. Естественно действия работодателя по данному факту неправомерны, поэтому на первом этапе думаю стоит с ним просто поговорить по-человечески, объяснить что за подобные нарушения вы будите вынуждены обратиться в инспекцию труда, суд прокуратуру, а ИП несет ответственность всем своим имуществом. Рекомендую просить расторжения трудового договора по соглашению сторон с выплатой двух окладов. Если он не пойдет на встречу, то после выдачи трудовой книжки, прямиком с иском в суд.