Просят вывезти кота с работы, обязан ли я выполнять такое поручение?

Добрый день! В силу ст. 72 ТК РФ

Изменение определенных сторонами условий трудового договора, в том числе перевод на другую работу, допускается только по соглашению сторон трудового договора.

Таким образом, работодатель не имеет права требовать от Вас отлова и вывоза кота.

Сергей, добрый вечер.

Также торжественно объявите — что Вы этого делать не будете, поскольку это не входит в Ваши трудовые обязанности и более того, в силу ст. 22 ТК РФ

Работодатель обязан:
обеспечивать безопасность и условия труда, соответствующие государственным нормативным требованиям охраны труда;

именно работодатель в силу обеспечения санитарных норм, пусть этого кота и ловит.