Дмитрий, добрый день!
Завещание на не приватизированную квартиру написать нельзя, она находится в муниципальной или государственной собственности. Поэтому бабушке нужно квартиру приватизировать, а потом писать завещание.
До 1997 года органов Рореестра не было. Техническая регистрация жилого фонда осуществлялась органами БТИ и в администрации муниципальных образований. Обратитесь в эти органы. Кроме того, если бабушка оплачивает коммунальные платежи за квартиру, то информация о квартире должна быть в ЖЭУ ( или УК, ТСЖ).
В органе, осуществляющим регистрацию граждан ( ранее паспортный стол) также должна быть информация о квартире и проживающих в ней граждан.