Здравствуйте, Надежда!
Ваш работодатель, очевидно, с ТК РФ мало знаком, а потому не знает, что работать бесплатно нельзя (ст.15 ТК РФ указывает, что работник выполняет трудовую функцию за плату).
В ТК РФ нет понятия отработка, но исходя из смысла предупреждения об увольнении по собственному желанию(ст.80 ТК РФ), Вы должны отработать 2 недели после дня подачи заявления — потом вправе требовать внесения записи в трудовую книжку об увольнении и окончательном расчете. В противном случае (более раннем прекращении трудовых отношений) Вас могут уволить за прогул, что плохо скажется на Вашей трудовой книжке.
Юридический смысл предупреждения об увольнении в том, чтобы обеспечить предсказуемость трудовых отношений при желании одной из сторон их прекратить. Но никакого согласия не требуется — иначе это было бы увольнение по соглашению сторон (ст.78 ТК РФ).