Здравствуйте, Алексей.
В соответствии с действующим законодательством договор найма жилого помещения заключается в письменной форме (ст. 674 ГК РФ). В подтверждение сделки и ее условий (например, в отношении платы за найм, срока данного договора) лишает стороны права ссылаться на свидетельские показания, но не лишает права представлять письменные и другие доказательства. Поскольку нет ни договоров, ни расписок (доказательством могло бы послужить перечисление платы за найм на карту, но скорее всего Вы передавали на руки) — арендодателю сложно будет что-либо доказать (наличие самого договора, его срока, размера платы и тп.), если он пойдет в суд с требованием о взыскании денежных средств.
Можно сказать, что взыскать что-либо с Вас в судебном порядке в данном случае нереально.Поэтому в Вашем случае нет никакой необходимости платить. И вообще, по тому, как Вы описали ситуацию, единственное нарушение с Вашей стороны — это то, что вы съехали 2 октября, а не первого. Оснований требовать оплаты еще за полмесяца у арендодателя нет.