Здравствуйте. Сначала нужно посмотреть само решение суда и понять, что именно установлено в резолютивной части: факт смерти, дата смерти, обстоятельства гибели либо объявление военнослужащего умершим. Для регистрации смерти основанием является вступившее в силу решение суда по статье 64 Федерального закона № 143-ФЗ, однако отсутствие необходимых сведений действительно может создать проблемы при оформлении свидетельства и последующих выплат.
Если место или обстоятельства гибели были указаны в заявлении и подтверждались извещением о безвестном отсутствии либо документами части, но суд просто пропустил их в решении, необходимо обратиться в тот же суд с заявлением о принятии дополнительного решения либо разъяснении решения. Если допущена очевидная описка — подаётся заявление об исправлении по статье 200 ГПК РФ. Суд вправе устанавливать факт смерти в определённое время и при определённых обстоятельствах по пункту 8 части 2 статьи 264 ГПК РФ.
Обязательно получите в ЗАГСе не устный ответ, а письменный отказ в государственной регистрации смерти с указанием конкретных недостатков решения. После этого будет понятно, какое заявление подавать в суд. Месячный срок, вероятно, является сроком вступления решения в законную силу, а не сроком на сбор документов, поэтому сначала необходимо проверить дату изготовления решения и сведения об обжаловании. Пришлите решение суда и отказ ЗАГСа — тогда можно точно определить, требуется исправление, дополнительное решение или отдельное обращение в суд.