Что делать, если мне не подписывают заявление об увольнении по собственному желанию?

Виктория, надо было почтой с уведомлением отправить заявление по с/ж. А сейчас Вы никому не докажите, что сдавали такое заявление (у Вас ведь нет на руках второго экземпляра с отметкой о вручении?).

Пишите заново, сдавайте в канцелярию. Укажите причины: переезд. Поскольку 80 статьёй ТК РФ установлено, что в случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

Укажите, что Вы не можете продолжать работу. И просите уволить Вас необходимым числом.