Могут ли уволить многодетную мать, если она не может приступить к работе и требует отпуск без сохранения з/п?

Здравствуйте, Екатерина.

Подскажите, есть ли у меня законный способ избежать увольнения и приступить к работе с момента поступления ребенка в садик?

Отсутствие мест в садике не обязывает работодателя предоставлять отпуск без сохранения заработной платы.

Ст. 158 ТК устанавливает следующие случаи, когда работодатель обязан предоставить работнику отпуск без сохранения заработной платы:

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.
Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
участникам Великой Отечественной войны — до 35 календарных дней в году;
работающим пенсионерам по старости (по возрасту) — до 14 календарных дней в году;
родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, органов по контролю за оборотом наркотических средств и психотропных веществ, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), — до 14 календарных дней в году;
(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 157-ФЗ)
работающим инвалидам — до 60 календарных дней в году;
работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников — до пяти календарных дней;
в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.

Между указанием закона на то, что отпуск «может быть» предоставлен и работодатель «обязан предоставить» есть существенная разница. Если вы не подпадаете под ч. 2 данной статьи, вам придется либо договариваться, либо как-то решать вопрос, с кем можно оставить ребенка на время работы.

Могут ли мне предложить уволиться, а с осени вновь устроиться обратно на новую должность, если я им подойду (я выполнила тестовое задание, работодатель думает)? Соглашаться ли на это?

Могут, наверное, предложить. Это зависит от вашего руководителя, никто не знает, какие у него намерения. Также никто не может знать, устроитесь вы обратно, или нет. Соглашаться или нет, решить можете только вы. Но нет гарантий, что вас снова примут на эту работу, даже если и пообещают. Никто не может гарантировать наличие вакансии, а также намерение работодателя принять уволившегося ранее работника на работу..