Здравствуйте! Вы не можете ему запретить юридически заводить собаку, однако если Вы не желаете питомца в квартире в которой сами проживаете, то думаю стоит определить порядок пользования жилым помещением и местами общего пользования (МОП), тогда Собака будет находится только в комнате сына.
С другой стороны, согласно ч. 4 ст. 17 ЖК РФ, пользование жилым помещением
осуществляется с учетом соблюдения прав и законных интересов проживающих
в этом жилом помещении граждан, соседей, требований пожарной
безопасности, санитарно-гигиенических, экологических и иных требований
законодательства, а также в соответствии с правилами пользования жилыми
помещениями, утвержденными уполномоченным Правительством Российской
Федерации федеральным органом исполнительной власти.
Еще в Москве действуют (не знаю как в других городах) Временные правила содержания собак и кошек в городе Москве (утв.
Постановлением Правительства Москвы от 08. 02. 1994 г. N 101 с
изменениями от 01.10. 2002 года) Там регламент содержания домашних животных.