И в течении какого времени они должны устранить ошибки или принять отказное по делу?

Официального жёсткого срока, в который инспектор обязан лично позвонить или прислать повестку именно вам, в законе нет. Но есть важный нюанс: по закону (ч. 3 ст. 28.8 КоАП РФ) у сотрудников ГИБДД есть не более 3 суток со дня, когда они получили от судьи материалы с определением о возврате, чтобы устранить недостатки. И как только они это сделают, у них есть ещё 1 сутки, чтобы повторно направить исправленные материалы обратно судье. На практике это значит: если вам не позвонили в течение пары дней после получения дела — это не нарушение, но как только ГИБДД внесёт правки, они должны оперативно вернуть дело в суд. Вам стоит периодически уточнять в канцелярии суда или у сотрудника, который вёл дело: на каком этапе исправление? 

Устранение ошибок. Если судья указал конкретные недочёты (например, не заполнена графа о свидетелях, нет вашей подписи, не приложены нужные доказательства), инспекторы должны их исправить. Иногда для этого действительно нужно ваше участие — например, чтобы вы подтвердили какие-то сведения или поставили подпись. В других случаях ошибку можно поправить документально без вас.
«Отказное». Иногда после изучения материалов сотрудник ГИБДД сам приходит к выводу, что дело нельзя довести до суда (например, из-за серьёзных пробелов, которые невозможно восполнить). Тогда он выносит определение об отказе в возбуждении дела (или о прекращении производства). Это тоже итоговый вариант — дело закрывается.
Важное предупреждение про сроки давности. Пока ГИБДД исправляет материалы, не забывайте про срок давности привлечения к ответственности. По ч. 2 ст. 12.24 КоАП РФ (причинение вреда здоровью средней тяжести) он составляет 1 год со дня совершения правонарушения. Если процесс затянется и срок истечёт, дело в любом случае прекратят — независимо от того, исправили ли ошибки в протоколе. 

Возьмите копию определения судьи (там обычно чётко прописано, что именно нужно исправить) и периодически связывайтесь с сотрудником ГИБДД или в канцелярии суда. Так вы будете в курсе процесса и сможете вовремя заметить, если дело начнут затягивать. Если возникнут сомнения в том, правильно ли исправлены недочёты, — это повод проконсультироваться с адвокатом по административным делам.

Ната, с учетом вашего уточнения прекращение дела возможно, но само определение о возврате материалов еще не означает, что суд установил отсутствие ДТП. Нужно прочитать, какие именно нарушения указаны в определении и для чего материалы возвращены.

По ч. 3 ст. 28.8 КоАП РФ недостатки устраняют не более чем за трое суток со дня получения материалов из суда, затем в течение суток возвращают их с исправлениями. Отсчет идет от получения в ГИБДД, а не обязательно с 21 октября. Обязанности именно позвонить вам в эти три дня нет. Пропуск этого срока сам по себе дело не прекращает.

Перечисленные вами обстоятельства требуют отдельных возражений. Противоречие между движением вперед и назад касается механизма наезда: его необходимо сопоставить со схемой, показаниями, записью заседания и медицинскими данными. Возврат заказных писем не всегда означает ненадлежащее извещение, поэтому нужно проверить адрес, причины возврата и документы о доставке. Обязанности обязательно известить вас по месту работы вместо места жительства из ст. 25.15 КоАП РФ не следует.

Отсутствие потерпевшего при исследовании само по себе не делает экспертизу недействительной: важно, какие вопросы и материалы исследовал эксперт. По вопросу подписи нужно проверить оригинал заключения, а для электронного документа также электронную подпись. Отдельно проверьте, знакомили ли вас с определением о назначении экспертизы и разъясняли ли права по ч. 4 ст. 26.4 КоАП РФ.

Сейчас подайте ходатайство об ознакомлении со всем делом и снимите копии определения суда, заключения и документов об извещении. Затем изложите конкретные противоречия и заявите ходатайства об исследовании доказательств. При отсутствии события или состава правонарушения ставится вопрос о прекращении производства по п. 1 или 2 ч. 1 ст. 24.5 КоАП РФ, а не об отказе в возбуждении уже возбужденного дела.

По ст. 12.24 общий срок давности составляет один год со дня правонарушения. Дата протокола 25 марта не заменяет дату самого наезда; также проверяются предусмотренные законом периоды приостановления срока.

Пришлите текст определения, закрыв личные данные: по нему можно будет оценить основания возврата точнее.

Срок исправления: www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34661/03c31d7577bb73ab43d837c326c4deb595bf6c03/
Экспертиза: www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34661/a51ab7ec50452cd0a2d08a5a54a1d48cac6f3468/