Как взыскать долг по договору с компанией после закрытия ИП?

Здравствуйте, Ксения!
Вы абсолютно правы в своих выводах: статус ИП — это лишь особый статус физического лица, а не отдельное юридическое лицо. Поэтому закрытие ИП не лишает вас права требовать долг, а обязательства компании перед вами полностью сохраняются. Вы будете взыскивать эти деньги уже как обычный гражданин (физическое лицо).
Ниже подробно и последовательно разобраны ответы на ваши вопросы и пошаговый алгоритм действий.

1. Сохраняются ли обязательства компании после закрытия ИП?
Да, сохраняются в полном объеме. Ссылка компании на то, что «ИП закрыто, поэтому мы ничего не должны», будет абсолютно незаконной.
В соответствии с гражданским законодательством РФ, предпринимательская деятельность гражданина не отделяет его имущество и права от имущества физлица.
Обязательство компании возникло перед конкретным человеком (вами). Меняется лишь ваш налоговый и гражданский статус, но не ваша личность как кредитора.2. Как юридически грамотно закрыть ИП, чтобы не потерять право на взыскание?
Вы можете подавать заявление на закрытие ИП в налоговую прямо сейчас.
Дополнительные соглашения: Подписывать с компанией допсоглашения о закрытии ИП не нужно и даже опасно — они могут затянуть время или подсунуть невыгодные условия.
Уведомление: Направлять официальное уведомление о закрытии ИП вы не обязаны, но сделать это стоит в формате претензии (об этом ниже), чтобы зафиксировать новые реквизиты для выплаты.
Акт сверки: Если компания выйдет на связь, акт сверки подписать полезно, так как он фиксирует точную сумму долга. Но если они игнорируют вас, не ждите их — закрывайте ИП.3. Как получить деньги на личный счет физлица и какие документы нужны?
Вы можете и должны получить остаток суммы на свой личный счет (карту) физического лица.
Расчетный счет ИП: Перед отправкой заявления на закрытие ИП в налоговую, убедитесь, что вы сможете закрыть расчетный счет в банке. Обычно банки закрывают счета ИП без проблем, переводя остатки на личную карту.
Документы для компании: Вам нужно направить компании Досудебную претензию. В ней вы указываете: «В связи с прекращением деятельности в качестве ИП с [Дата], обязательства по Договору №… переходят ко мне как к физическому лицу. Прошу выплатить остаток задолженности в размере [Сумма] по следующим реквизитам физического лица: [Ваш БИК, номер личного счета, ФИО]».4. Перспектива переквалификации договора в трудовой
Шансы на переквалификацию в суде (или через Трудовую инспекцию) очень высокие, учитывая, что вас заставили открыть ИП при найме, у вас был четкий график, рабочее место и переписка, доказывающая трудовой распорядок.
Преимущества:
Компания будет обязана выплатить вам не только долг, но и компенсацию за неиспользованный отпуск, компенсировать задержку выплат (ст. 236 ТК РФ), а также внести запись в трудовую книжку.
Моральный вред и штраф в пользу государства за уклонение от оформления трудового договора (для юрлиц это до 100 000 рублей по ст. 5.27 КоАП РФ). Компания этого очень боится.

Риски для вас:
Налоги: Как ИП на режиме «Доходы» вы должны были заплатить с полученных сумм 6% налога. Если договор признают трудовым, работодатель должен будет доначислить и уплатить за вас 13% НДФЛ и страховые взносы. Для вас рисков практически нет (взыскивают с работодателя как с налогового агента), но судебный процесс может затянуться на 2–4 месяца. 

Пошаговый алгоритм ваших действий:
Закройте ИП. Подайте заявление по форме Р26001 (через Госуслуги, сайт ФНС или МФЦ). Пошлина составляет 160 рублей (через сайт бесплатно). ИП закроют ровно за 5 рабочих дней.
Зафиксируйте доказательства. Сохраните и распечатайте (можно сделать скриншоты) всю переписку в мессенджерах и по почте, где обсуждались задачи, график, штрафы или выплаты.
Отправьте досудебную претензию. Как только получите лист записи о закрытии ИП, отправьте Почтой России ценным письмом с описью вложения на юридический адрес компании официальную претензию с требованием вернуть долг на ваши личные реквизиты физлица. Дайте им 10 дней на ответ.
Обратитесь в суд. Если претензия проигнорирована: Вариант А (Простой): Подать иск в мировой или районный суд о взыскании долга по договору (уже как физлицо к юрлицу).
Вариант Б (С давлением): Подать иск в районный суд о признании отношений трудовыми и взыскании заработной платы. Наличие иска по трудовому спору часто заставляет компании выплачивать долги немедленно, чтобы избежать проверок прокуратуры и ГИТ.

Здравствуйте. 

Ваши вопросы слишком объёмные и могут быть рассмотрено исключительно в рамках отдельной платной услуги в чате юриста. 

Коротко поясню, что да, по судебной практике закрытие ИП не прекращает обязательств физлица и не лишает Вас права требовать долг.

ИП это лишь статус физического лица, поэтому обязательства у контрагента перед Вами сохраняются вне зависимости от Вашего статуса. 

Здравствуйте, Ксения!

Закрытие ИП само по себе не прекращает долг компании перед Вами: ИП — не отдельное лицо, а Ваш статус как гражданина.

Но я бы не советовал закрывать ИП механически до проверки договора и налоговых последствий получения остатка уже после прекращения деятельности. Кроме того, по Вашему описанию есть основания отдельно проверить, не были ли отношения фактически трудовыми.

***

Закон — это инструмент. Задача юриста не просто назвать норму, а помочь человеку понять, как ею воспользоваться. Если после ответа Вам стало понятнее, что делать дальше, — значит, он выполнил свою задачу.