Здравствуйте, Алина!
Пособие можно оформить на мужа, но для этого ему нужно обратиться к работодателю и оформить отпуск по уходу за ребёнком. Само по себе продолжение работы без оформления такого отпуска не даёт права на пособие. По статье 256 ТК РФ отпуск может взять отец, а по статье 13 Федерального закона № 81-ФЗ пособие назначается одному из родителей или других родственников, фактически ухаживающих за ребёнком.
Увольняться вам не нужно. Муж может оформить отпуск, после чего выйти на работу. Если он выйдет до того, как ребёнку исполнится 1,5 года, право на уже назначенное пособие сохранится, в том числе при работе полный день. Это предусмотрено статьёй 11.1 Федерального закона № 255-ФЗ. Одновременно получать пособие на одного ребёнка оба родителя не могут.
Для оформления мужу следует обратиться к работодателю с заявлением об отпуске и назначении пособия. Работодатель передаст необходимые сведения в Социальный фонд России. Важно, чтобы документы отражали реальную ситуацию с уходом за ребёнком, а не были оформлены только формально.
Сколько сейчас ребёнку и оформляла ли уже кто-либо из вас отпуск или пособие? Если уточните эти обстоятельства, можно разобрать порядок действий и возможные нюансы в платном чате.