Договор социального найма при выписке нанимателя не прекращается и не переоформляется заново, он изменяется. Дееспособный член семьи нанимателя с согласия остальных членов семьи и наймодателя вправе требовать признания себя нанимателем по ранее заключённому договору вместо первоначального (ч. 2 ст. 82 ЖК РФ). Заявление подаётся наймодателю, то есть в жилищный орган администрации, вместе с письменным согласием проживающих.
Существенно, что мама именно выписалась, а не умерла. Если она выехала в другое место жительства насовсем, договор в отношении неё считается расторгнутым со дня выезда (ч. 3 ст. 83 ЖК РФ), и препятствий для замены нанимателя нет. Если выезд временный или вынужденный, она остаётся стороной договора, и без её согласия наймодатель замену не проведёт.
Куда мама зарегистрировалась после выписки и живёт ли она там фактически? От этого зависит, хватит ли заявления в администрацию или сначала потребуется решение суда.