Здравствуйте Сергей.
Заменить такой паспорт можно, даже если у Вас нет временной регистрации в Ростове-на-Дону и отсутствует военный билет.
Паспорт гражданина РФ подлежит замене, если он стал непригоден из-за повреждения, а также после достижения установленного возраста. Обратиться за заменой можно по месту жительства, месту пребывания или просто по месту обращения, то есть отсутствие регистрации в Ростове само по себе не препятствует замене паспорта.
При поврежденном паспорте нужно представить сам паспорт, подлежащий замене, заявление и необходимые документы. Военный билет относится к документам, которые используются для проставления соответствующей отметки в паспорте, но его отсутствие само по себе не означает, что паспорт Вам вообще не заменят.
При этом вопрос воинского учета придется урегулировать отдельно. Отсутствие регистрации не освобождает от обязанности состоять на воинском учете и не является основанием для отказа в постановке на учет. Гражданин без регистрации может быть поставлен на воинский учет по месту, которое он укажет как место своего фактического пребывания.
То есть порядок действий такой:
Обратиться в подразделение МВД по вопросам миграции или через МФЦ с заявлением о замене паспорта.
Предъявить поврежденный паспорт и остальные имеющиеся документы.
Если у Вас действительно отсутствуют документы воинского учета, параллельно обратиться в военкомат по месту фактического пребывания для постановки на учет и оформления соответствующего документа.
Если паспорт был просрочен более чем на три года, отдельно может возникнуть вопрос об административной ответственности за проживание по недействительному паспорту, но это не лишает Вас права получить новый паспорт.
С учетом того, что Вы ранее получили российский паспорт после переезда из ДНР, я бы рекомендовала идти именно в подразделение МВД по вопросам миграции, а не ограничиваться только МФЦ: там одновременно смогут проверить сведения о гражданстве, прежней выдаче паспорта и определить, какие дополнительные документы нужны именно в Вашей ситуации.