Бесплатный транспорт не предоставляется. Вы нанимаете перевозчика за свой счёт, а потом подаёте документы на компенсацию расходов.
Что компенсируют (ст.ст. 17, 22 Закона № 1244-1, Постановление Правительства № 907):
стоимость проезда членов семьи к новому месту жительства
расходы по перевозке имущества (домашних вещей) — ж/д, водным, автомобильным, авиатранспортом
единовременное пособие на переезд — на каждого члена семьи
нетрудоспособным, многодетным, матерям-одиночкам и одиноким женщинам — дополнительно погрузку и разгрузку
Легковой автомобиль — не относится к «имуществу» в смысле перевозки. Вы перегоняете его сами. Компенсация за бензин при перегоне законом прямо не предусмотрена.
Условие: нужно прожить в зоне с правом на отселение не менее 3 лет перед переездом.
Что делать: нанимать перевозчика официально — с договором, чеками, квитанциями. Все документы сохранить и подать заявление в Социальный фонд РФ по новому месту жительства.