Отпускные вам обязаны выплатить, а писать отпуск за свой счёт задним числом вы не должны. Ежегодный оплачиваемый отпуск предоставляется по графику отпусков, а не по заявлению работника (ст. 123 ТК РФ), поэтому довод про отсутствие заявления правового значения не имеет.
У вас на руках уведомление о начале ежегодного отпуска, подписанное генеральным директором. Это и есть подтверждение того, что отпуск был предоставлен именно как ежегодный оплачиваемый. Оплатить его работодатель был обязан не позднее чем за три дня до начала (ч. 9 ст. 136 ТК РФ). Срок нарушен, поэтому сверх самих отпускных вам причитается компенсация за задержку: не ниже 1/150 ключевой ставки ЦБ от невыплаченной суммы за каждый день просрочки (ст. 236 ТК РФ). Начисляется она независимо от вины работодателя.
Отпуск без сохранения заработной платы возможен только по вашему письменному заявлению (ст. 128 ТК РФ). Подпишете его задним числом и сами превратите оплачиваемый отпуск в неоплачиваемый, а требование о выплате останется без основания.
Порядок действий:
1. Сохраните уведомление о начале отпуска, заявление о переносе, переписку с кадрами и бухгалтерией. Запросите под подпись копию графика отпусков и копию приказа о предоставлении отпуска.
2. Подайте работодателю письменное заявление о выплате отпускных и компенсации по ст. 236 ТК РФ в двух экземплярах, на своём попросите отметку о приёме. Либо направьте заказным письмом с описью вложения.
3. Заявление на отпуск за свой счёт не подписывайте ни в какой формулировке.
4. Параллельно подайте жалобу в трудовую инспекцию через онлайнинспекция.рф и в прокуратуру по месту нахождения работодателя. Невыплату отпускных проверяют быстро, документы у работодателя те же.
5. Если выплаты не будет, иск в районный суд. Срок по денежным требованиям один год со дня, когда выплата должна была быть произведена (ч. 2 ст. 392 ТК РФ), госпошлину работник не платит (ст. 393 ТК РФ).
Посмотрите, стоял ли этот отпуск в графике отпусков и какие даты указаны в уведомлении директора. Если они совпадают с фактическим отпуском, спор закончится на жалобе в инспекцию: при отпуске по графику заявление работника не требуется вообще.