Из-за этого не могу устроиться на работу, так как имею на руках неактуальный документ военского учета

Добрый день. 
Напишите официальное заявление в военкомат. Составьте письменное обращение на имя начальника комиссариата с требованием разъяснить причины задержки и назвать конкретные сроки выдачи военного билета. Заявление можно подать лично под отметку о принятии на вашей копии или отправить заказным письмом с уведомлением о вручении. 
Обратитесь в вышестоящий орган. Если ответ вас не удовлетворит или его не последует, направьте жалобу в военный комиссариат субъекта РФ (например, в областной военкомат). 
Подайте жалобу в прокуратуру. Если предыдущие шаги не помогли, можно обратиться в военную прокуратуру с описанием ситуации и приложением копий всех документов (заявления, временного удостоверения и т.д.). Прокуратура обязана провести проверку. 
Обратитесь в суд. В крайнем случае можно подать иск о признании бездействия военкомата незаконным и обязании выдать военный билет. 
На всех этапах важно сохранять копии всех поданных документов и переписки. 
Можно ли устроиться на работу по неактуальным документам?
Нет, официально устроиться на работу с такими документами нельзя. Работодатель вправе требовать от соискателя документы воинского учёта согласно ч. 1 ст. 65 ТК РФ. Если вы предоставите работодателю неактуальные или просроченные документы, он будет обязан сообщить об этом в военкомат, а вас — поставить на воинский учёт. Это создаст для вас дополнительные сложности, а для работодателя — риск административной ответственности. 
Технические сбои. Иногда задержки возникают из-за сбоев в обмене данными между военкоматами.
Неполный пакет документов. Убедитесь, что вы предоставили все необходимые бумаги для оформления военного билета.
Административные барьеры. В отдельных случаях процесс может затягиваться из-за внутренних процедур.
Я рекомендую начать с письменного обращения в военкомат. Это самый прямой и юридически обоснованный шаг. Если реакции не будет — смело обращайтесь в вышестоящие инстанции. Главное — не прекращайте попытки решить вопрос, так как промедление только усугубляет ситуацию.

Трудовой кодекс не запрещает принимать на работу без военного билета — отдельной ответственности за сам факт приёма такого сотрудника закон не предусматривает. 

Работодатель обязан:

в течение 5 рабочих дней сообщить в военкомат о приёме сотрудника;
если выяснится, что работник не состоит на воинском учёте — в течение 3 рабочих дней уведомить военкомат и вручить работнику направление для постановки на учёт. многие работодатели (особенно крупные) перестраховываются и отказывают соискателям без военного билета, потому что штрафы за нарушения воинского учёта для организаций дошли до 350 000–400 000 рублей. Но такой отказ незаконен — если вы потребуете письменный отказ, его можно обжаловать в суде как дискриминацию (ст. 64 ТК РФ).

По закону старый военкомат должен выслать личное дело в течение 3 дней после получения запроса от нового военкомата. Новый военкомат, в свою очередь, должен направить запрос тоже в 3-дневный срок после вашего обращения. Если личное дело не поступило в течение месяца, новый военкомат отправляет повторный запрос.