Здравствуйте!
Ситуация у вас действительно непростая, но решаемая. Давайте по порядку.
Сразу важный момент: для иностранных граждан действуют не те правила, что для граждан РФ. Ваш учёт регулируется Федеральным законом от 18.07.2006 № 109-ФЗ «О миграционном учёте иностранных граждан и лиц без гражданства в РФ» и Правилами, утверждёнными постановлением Правительства РФ от 15.01.2007 № 9.
Теперь по существу. Электронный учёт в приложении «Амина» — это постановка на учёт по месту пребывания, но в упрощённом, электронном виде. Однако для продления срока временного пребывания (вашей миграционной карты) ключевое значение имеет именно уведомление о прибытии, которое принимающая сторона подаёт в МВД. Если сотрудники МВД говорят о необходимости «печатного вида» регистрации, значит, в вашем случае электронного учёта недостаточно — нужно, чтобы хостел или иное лицо, предоставившее вам помещение, подали бумажное уведомление о прибытии.
Заселиться в хостел и получить там регистрацию вы можете, но при двух условиях. Первое: хостел должен быть готов принять иностранного гражданина и направить уведомление о вашем прибытии в МВД. Второе: у хостела должны быть законные основания для этого — то есть он должен соответствовать требованиям для принимающей стороны. Если хостел согласен, он подаёт уведомление, и вы получаете отрывную часть бланка — это и будет ваша регистрация «печатного вида», которая учитывается в миграционном учёте.
Теперь о главном — о продлении миграционной карты. Здесь есть важный нюанс, который вам, судя по всему, не объяснили. Сама по себе регистрация в хостеле срок вашего временного пребывания не продлевает. Она лишь подтверждает, что вы находитесь в стране законно в пределах срока, указанного в миграционной карте. А вот если вы подали документы на ВНЖ, то срок вашего временного пребывания продлевается на время рассмотрения заявления — это прямо предусмотрено п. 3 ст. 6 Федерального закона от 25.07.2002 № 115-ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в РФ».
То есть ваша стратегия такая: раз пакет документов на ВНЖ уже собран, вам нужно не просто сделать регистрацию в хостеле, а подать заявление о продлении срока временного пребывания в связи с оформлением ВНЖ. Сотрудники МВД, которые советовали вам сняться с учёта «Амина» и сделать «печатную» регистрацию, видимо, имели в виду именно это — чтобы у вас на руках был документ, подтверждающий постановку на учёт, и на его основании можно было продлить срок.
Что касается снятия с учёта в «Амине» — если сотрудники ММЦ Сахарово сами не знают, как это сделать, попробуйте решить вопрос через хостел: при подаче уведомления о прибытии новый учёт должен «перебить» старый, и система сама обновит данные. Если не получится — обращайтесь в территориальный орган МВД по месту нахождения хостела с письменным заявлением, чтобы вас сняли с электронного учёта и поставили на учёт по месту пребывания.
И ещё один момент, о котором нельзя молчать. Не соглашайтесь на фиктивную регистрацию «за деньги без проживания». Для иностранцев и принимающей стороны это уголовная ответственность по ст. 322.3 УК РФ, а выявленная фиктивная регистрация аннулируется, и тогда у вас будут проблемы посерьёзнее, чем отсутствие продления. Поэтому оформляйте всё только законно, через реальное заселение в хостел.
Итог: заселяйтесь в хостел, который готов официально уведомить МВД о вашем прибытии, получайте отрывную часть бланка уведомления, и с этим документом подавайте заявление о продлении срока временного пребывания в связи с подачей документов на ВНЖ. Это ваш самый надёжный путь.