Аннулируют ли ВНЖ России, если год не забирать документ из МФЦ и не проживать в стране?

Про «прописка в МФЦ». Важно: сам по себе факт, что вы не забрали документ из МФЦ, юридически не ведёт к аннулированию ВНЖ. Статус считается действующим с момента оформления, а не с получения на руки. Проблема в другом: по закону (ст. 9 ФЗ № 115-ФЗ) ВНЖ могут аннулировать, если иностранный гражданин непрерывно отсутствует в России более 6 месяцев в течение календарного года. Вот тут и кроется риск: год отсутствия — это как раз превышение лимита. 
Но есть исключение. Если вы сможете документально подтвердить уважительную причину. Лечение в стационаре за границей — как раз такое основание. Вам нужно собрать официальные медицинские документы: выписку с датами госпитализации, диагнозом, возможно, заключение врача. Желательно, чтобы перевод этих бумаг на русский язык был заверен (нотариально или в консульстве) — это повысит доверие. Если вы сможете убедительно доказать, что физически не могли приехать, риск аннулирования снижается. 
Что делать сейчас:
Свяжитесь с территориальным подразделением МВД по вопросам миграции, где оформляли ВНЖ. Уточните статус документа. Можно сделать это через доверенное лицо по нотариальной доверенности.
Параллельно соберите медицинские документы — они понадобятся, если возникнет вопрос об уважительности причины.
Про последствия аннулирования. Если МВД всё же примет решение об аннулировании, по закону (п. 2 ст. 31 ФЗ № 115-ФЗ) вы обязаны покинуть Россию в течение 15 дней с момента получения уведомления. Если не уедете добровольно, МВД инициирует депортацию. После депортации почти всегда следует запрет на въезд — обычно на 5 лет. успенский.
Про въезд после аннулирования. Сам факт аннулирования не блокирует въезд навсегда автоматически, но если после депортации будет вынесено решение о неразрешении въезда, тогда въехать не получится. Поэтому важно не просто аннулировать статус, а действовать в рамках закона — подтверждать уважительные причины, если они есть.
Про другие ваши вопросы. Миграционная карта и регистрация по месту пребывания — это хорошо, но они не заменят регистрацию по месту жительства (прописки) для самого статуса ВНЖ. А трудовой договор сам по себе не спасает от аннулирования, если нарушены другие условия (например, длительное отсутствие без уважительной причины).