Должен ли классный руководитель находиться в школе при отсутствии уроков?

Нет, по закону классный руководитель не обязан постоянно находиться в школе до конца уроков своего класса, если у самого руководителя в это время нет уроков. Присутствие педагога на рабочем месте жёстко привязано к расписанию его собственных уроков и графику дежурств. 

Как это регулируется
Классное руководство — это дополнительная работа
По смыслу статей 60.2 и 151 ТК РФ, классное руководство — не отдельная должность, а вид дополнительной работы, которую учитель выполняет с письменного согласия за дополнительную плату. Часы на неё — примерно 3,6 часа в неделю (пятая часть ставки) — и они не означают, что всё это время нужно физически сидеть в школе. 

Что говорит Приказ Минобрнауки
В приказе № 536 прямо указано: в дни и часы, когда педагоги свободны от занятий и других должностных обязанностей, их обязательное присутствие в школе не требуется — если только это не дополнительная работа за отдельную плату, оформленная соглашением. 

Может ли школа ввести такое требование локально
Теоретически школа может прописать в своём внутреннем Положении о классном руководстве, что классный руководитель обязан присутствовать до конца уроков класса. Но если это требование не компенсируется дополнительной оплатой и не закреплено в трудовом договоре или допсоглашении — оно неправомерно ухудшает условия труда работника. 

Что всё-таки обязан делать классный руководитель
Обязанности, которые привязаны к расписанию класса: 

Ежедневно — контролировать посещаемость, выяснять причины отсутствия
Ежедневно — организовывать дежурство класса
Еженедельно — проводить классный час
При присутствии на общешкольных мероприятиях — обязательно быть
Но выполнять всё это можно и без нахождения в школе весь день — например, зайти на первый урок для проверки посещаемости, а остальные задачи решать удалённо или в методический день.

Что делать, если администрация заставляет
Проверьте свой трудовой договор и допсоглашение — если там не прописана обязанность находиться в школе весь день, требование директора незаконно.
Изучите локальные акты школы — Положение о классном руководстве, Правила внутреннего трудового распорядка. Если там есть такое требование — проверьте, закреплено ли оно в вашем трудовом договоре и предусмотрена ли за это доплата.
Напишите заявление на имя директора с просьбой разъяснить, на основании какого документа вас обязывают присутствовать в школе в свободные от уроков часы.
Обратитесь в инспекцию труда (ГИТ) — если школа настаивает на незаконном требовании. Это можно сделать через . 
Нюанс
Даже если закон на вашей стороне, на практике многие классные руководители остаются в школе — особенно в начальных классах или с проблемными классами — просто из чувства ответственности. Но это ваш выбор, а не обязанность. Заставить вас бесплатно сидеть в школе без уроков школа не имеет права.