Егор, здравствуйте.
По пунктам, потому что вопросы у вас разной степени сложности, и перспективы у них тоже разные.
1. Ребенка вы регистрируете без чьего-либо согласия. Часть 1 ст. 70 ЖК РФ прямо исключает вселение несовершеннолетних детей к их родителям из общего правила: согласие остальных членов семьи нанимателя и согласие наймодателя не требуется. Подкрепляется это п. 2 ст. 20 ГК РФ, по которому местом жительства ребенка признается место жительства его родителей. Мнение матери здесь юридического значения не имеет, и норму об общей площади на человека к этому случаю тоже не применяют.
2. Заявителем по договору социального найма выступает будущий наниматель, а остальные проживающие дают согласие и включаются в договор как члены семьи. Инициировать заключение вы вправе и сами: обращение в Департамент городского имущества подает любой из тех, кто занимает помещение по ордеру. Но подписать договор нанимателем без матери вы не сможете, если она против. Одно другому не мешает: заключение договора с ней как с нанимателем и включение вас с ребенком в число членов семьи это разные вещи, и вторая от ее желания не зависит так сильно, как кажется.
3. Если мать уклоняется. Отсутствие письменного договора ваши права не отменяет: основанием пользования остается ордер, а договор лишь оформляет уже существующие отношения (ст. 60, 63 ЖК РФ). Механизм такой: подаете заявление в ДГИ, получаете письменный ответ, и уже с этим ответом идете в суд с иском о признании права пользования и понуждении к заключению договора социального найма с включением вас и ребенка. Без письменного отказа ведомства суд посчитает обращение преждевременным.
4. Про смену нанимателя честно. Часть 2 ст. 82 ЖК РФ разрешает дееспособному члену семьи требовать признания себя нанимателем, но только с согласия остальных членов семьи и наймодателя. Мать против, значит по этому пути перспективы слабые, суды в таких делах обычно отказывают. Реалистичная цель иная: договор заключается с матерью, а вы и ваш ребенок фигурируете в нем как члены семьи с равными правами пользования (ч. 2 ст. 69 ЖК РФ). Объем ваших прав от того, чье имя стоит в графе нанимателя, практически не меняется.
5. Документы под каждое действие:
Регистрация ребенка: ваш паспорт, свидетельство о рождении, заявление в МФЦ или через Госуслуги. Согласия и справки о согласии не нужны.
Договор найма: ордер или выписка из распоряжения о предоставлении, единый жилищный документ, финансово-лицевой счет, паспорта всех зарегистрированных, свидетельство о рождении ребенка.
Суд: то же самое плюс письменный ответ ДГИ и подтверждение оплаты вами коммунальных платежей, если оно есть.
Начните с малого и по порядку: сначала регистрируйте ребенка, это делается без спора, и только потом занимайтесь договором. Зарегистрированный ребенок автоматически усиливает вашу позицию по второму вопросу.
Вы уже обращались в ДГИ по поводу договора и получали письменный ответ? От этого зависит, начинается ваш путь с заявления или уже с иска, и весь набор документов дальше строится вокруг этого ответа.