Правомерно ли затягивание отправки кассационной жалобы из-за ознакомления адвоката?

Разбираю детали: по закону при подаче кассационной жалобы суд первой инстанции действительно должен направить копии другим участникам процесса. А для этого ему нужно знать позицию заявителя — в частности, подтвердить, нужен ли вам адвокат в кассационной инстанции, хотите ли вы участвовать лично и т.п. Именно для этого и запрашивают такую расписку: чтобы корректно разослать документы и избежать ошибок. 
То, что вы уже указали в самой кассационной жалобе (что адвокат вам не нужен, вы хотите участвовать лично), суд, скорее всего, проверяет не для того, чтобы «задержать» дело, а чтобы убедиться: процессуальные требования соблюдены. Если в жалобе есть неясности или противоречия, суд вправе запросить уточнения до того, как перенаправит документы дальше. 

Что делать в вашей ситуации?
Не игнорируйте звонок в суд. Спросите прямо: «По какой причине жалоба до сих пор не направлена в кассационный суд? Мы уже подавали жалобу, когда можно её отправить?»
Если вам прямо скажут, что ждут от вас какую-то дополнительную бумагу — попросите оформить её в письменном виде (например, «расписку»), чётко обозначив, что именно нужно уточнить (например, «прошу считать жалобу надлежаще оформленной, все процессуальные требования соблюдены»).
Параллельно можно проверить карточку дела в суде: иногда там есть отметка о том, что копии направлены участникам. Это подтвердит, что суд действительно выполнил свою часть работы.

Здравствуйте.

Во-первых, обращения в суд по телефону и по электронной почте официальными считаться не могут и никакой силы не имеют. 

Во-вторых, звоня в суды, Вы злоупотребляете своими правами, и в ответ получаете соответствующее. 

В-третьих, сама по себе просьба заполнить такую расписку — это не норма закона, а вот то, что из-за этого задержали отправку жалобы, а потом сослались на адвоката, от которого вы отказались, — уже повод разобраться, есть ли здесь затягивание.

По закону (например, ст. 377 ГПК РФ) суд первой инстанции после получения кассационной жалобы обязан в трёхдневный срок направить её вместе с делом в кассационную инстанцию. Никаких дополнительных «рапортов» или «расписок» от заявителя для этого не требуется. То, что вам предложили заполнить такой бланк (даже если в нём дублируются сведения из самой жалобы), — это внутренняя, не закреплённая в кодексе процедура. Иногда суды так делают для собственного учёта, но это не должно блокировать отправку жалобы. 

Напишите официальное обращение на имя председателя суда первой инстанции. В нём чётко изложите хронологию: когда подали жалобу, что просили заполнить, какие ответы получали. Прямо укажите: «Прошу разъяснить правовые основания задержки направления кассационной жалобы в кассационную инстанцию. Прошу подтвердить, зафиксирован ли в материалах дела мой письменный отказ от услуг адвоката по назначению, и если да — пояснить, почему это препятствует отправке жалобы».
Если председатель даст формальный ответ, который вас не устроит (например, сошлётся на внутренние инструкции, а не на закон), это будет хорошим основанием для следующего шага.
При необходимости — жалоба в квалификационную коллегию судей (ККС). Если будет очевидно, что имеет место бездействие или волокита, можно обратиться в ККС субъекта РФ. Но советую начать с обращения к председателю — часто это решает вопрос быстрее.