Здравствуйте.
Да, привлечь водителя можно - собственник, который по решению суда выплатил возмещение потерпевшему, вправе предъявить к водителю-виновнику отдельный регрессный иск, поскольку именно он, а не владелец, фактически причинил вред. Владелец в этой ситуации выступил лишь как формальный ответчик по ст. 1079 ГК РФ (владелец источника повышенной опасности), но реальную сумму ущерба закон позволяет переложить на того, кто был за рулём.
То, что водитель не был вписан в полис ОСАГО, здесь дополнительный факт не в его пользу. Если бы выплату производил страховщик, у него самого возникло бы право регресса к незастрахованному водителю по ст. 14 Федерального закона № 40-ФЗ. Но у Вас платил сам владелец - значит, скорее всего, полиса не было вовсе или страховка не покрыла весь ущерб, и разницу взыскали именно с собственника машины.
Но есть нюанс: автоматически сумма на водителя не перекладывается - нужен отдельный судебный процесс, где владелец докажет, что именно этот человек управлял ТС и виновен в ДТП (обычно это подтверждается постановлением ГИБДД). И ещё момент: если между владельцем и водителем были трудовые отношения (например, водитель работал на владельца), взыскание пойдёт уже не по ГК, а по правилам материальной ответственности работника - там суммы ограничены средним заработком, кроме случаев умысла или опьянения.
Получите конкретный план действий по ситуации: что сделать дальше, какие документы подготовить и на какие сроки ориентироваться.