Гузал, здравствуйте.
Выехать через границу с Казахстаном вы можете - самого запрета на выезд нет, но проблема не в этом. После аннулирования патента у вас было всего 15 календарных дней, чтобы либо получить новый патент, либо покинуть Россию (это прямо следует из п. 22 ч. 9 ст. 18 ФЗ №115-ФЗ "О правовом положении иностранных граждан"). Раз аннулирование было в марте, а сейчас июль - срок незаконного пребывания у вас уже далеко за 90 дней.
Да, патент аннулировали из-за того, что работодатель поздно подал в МВД копию трудового договора - обязанность подать её лежит на работодателе (ст. 13.3 того же закона). Но обидная особенность миграционного законодательства в том, что последствия несёт именно иностранный гражданин, а не работодатель. Вина работодателя сама по себе не восстанавливает патент и не освобождает вас от обязанности выехать.
Главный риск сейчас - при пересечении границы (тем более сейчас с биометрическим контролем на всех пунктах пропуска) будет автоматически зафиксировано превышение срока пребывания. Это влечёт запрет на въезд в РФ по ст. 27 ФЗ №114-ФЗ на срок от 3 до 10 лет, в зависимости от того, насколько именно превышен срок. То есть "съездить в гости и вернуться" может закрыть вам въезд в Россию на несколько лет.
Прежде чем ехать к границе, нужно точно посчитать количество дней просрочки и проверить, не установлен ли запрет уже сейчас - и по ситуации выбирать: выезжать немедленно, чтобы минимизировать срок нарушения, либо пытаться оспаривать само решение об аннулировании через МВД/суд, ссылаясь на вину работодателя.