Почему не начислили пособие на ребенка за месяц рождения?

Пособие Вам должны начислить за май - оно просто ещё не пришло, потому что первая выплата формируется с задержкой из-за сроков обработки заявления.

По п. 13 Постановления Правительства РФ № 2330 заявление подано в пределах 6 месяцев со дня рождения ребёнка (21 мая - 8 июня), значит пособие назначается с месяца рождения, то есть с мая, а не с месяца обращения. Это ключевой момент - Вы не потеряли майскую выплату.

Но есть нюанс со сроками. Решение по заявлению СФР принимает в течение 10 рабочих дней (п. 34 того же Постановления), заявление от 8 июня попадает под рассмотрение уже в июне. Первая выплата производится в течение 5 рабочих дней после назначения - и в неё автоматически включается доначисление за все "прошлые" месяцы, за которые пособие положено (в Вашем случае - май). То есть скорее всего майская сумма придёт вместе с июньской, просто одним платежом чуть позже стандартного графика 3-го числа.

Если срок уже сильно затянулся (решение не приняли больше 10-20 рабочих дней) - это повод обращаться напрямую в СФР, там уже могут быть проблемы с межведомственными запросами или ошибка в заявлении.