Да, может - подача заявления о приобретении гражданства РФ сама по себе является законным основанием для продления срока временного пребывания иностранного гражданина на весь период рассмотрения этого заявления, это прямо предусмотрено п. 3 ст. 5 Федерального закона № 115-ФЗ.
Раз мать - гражданка РФ, ребёнок приобретает гражданство в упрощённом порядке без соблюдения требований о сроке проживания в РФ, ч. 5 ст. 16 ФЗ № 138-ФЗ. Но есть нюанс: продление срока пребывания не происходит автоматически "по умолчанию" - его нужно оформить документально в МВД, иначе после 90 дней ребёнок формально окажется в стране незаконно, со всеми последствиями (штраф на мать как принимающую сторону, вплоть до запрета последующего въезда для ребёнка, если факт превышения будет зафиксирован до подтверждения гражданства).
Второй момент, который часто упускают в такой ситуации - если отец ребёнка не гражданин РФ и не в разводе с матерью (либо просто записан отцом в свидетельстве), потребуется его нотариальное согласие на приобретение ребёнком гражданства РФ, если он не лишён родительских прав. Без этого заявление может "зависнуть" или вернуться на исправление.
Получите конкретный план действий по ситуации: что сделать дальше, какие документы подготовить и на какие сроки ориентироваться.