Должен ли виновник ДТП возмещать расходы на экспертизу и проживание в другом городе?

Николай, да - платить придётся, но не так, как думаете. Раз Вы не вписаны в ОСАГО жены, а виновник в ДТП - Вы, страховая компания жены (или страховщик потерпевшего по КАСКО через суброгацию) сначала выплатит всю сумму потерпевшему, а потом предъявит регрессное требование к Вам лично на всю выплаченную сумму - это прямо предусмотрено ст. 14 Закона об ОСАГО, п. "д": причинитель вреда не включён в договор как лицо, допущенное к управлению.

То есть сами Вы сейчас никому ничего не переводите - за Вас платит страховая. Но потом она "выставит счёт" - именно так, как Вы и предположили. И туда войдёт всё: УТС, ремонт кулака и развал-схождения, экспертиза дилера, стоимость ремонта через КАСКО и, скорее всего, издержки на проезд/проживание - если потерпевший обоснует их как реальные убытки, вызванные ДТП (ст. 15 ГК РФ). Сумма укладывается в лимит ОСАГО (400 тыс. руб.), поэтому претензия придёт именно к страховщику жены, а от неё - к Вам целиком, а не частями.

Нюанс: не все заявленные расходы автоматически "справедливы" - издержки на проезд и 3-дневное проживание можно и нужно проверять на разумность и документальное подтверждение (чеки, билеты, а не "как минимум"). Экспертиза у дилера тоже должна быть обоснована необходимостью, а не выбором самого потерпевшего в пользу более дорогого варианта, если можно было провести ремонт ближе.