Здравствуйте.
Звание прапорщика Вам должны были присвоить не позже, чем в течение месяца после назначения на должность фельдшера - именно эта должность по штату предусматривает такое звание, это следует из порядка присвоения воинских званий, закреплённого в ФЗ № 53-ФЗ "О воинской обязанности и военной службе", и из Положения о порядке прохождения военной службы. То, что Вы 4 месяца остаётесь рядовым, при том что заключили контракт именно на должность прапорщика - это уже отклонение от нормального порядка, и просто "молчание" отдела кадров тут не аргумент.
А вот присвоение звания и должности врача - это совсем другой вопрос, его не надо путать с первым. Должность врача - офицерская, назначение на неё требует не диплома как такового, а прохождения аттестации и военно-врачебной экспертизы. И вот тут отказ по формулировке "нет военной кафедры" - слабый аргумент: отсутствие военной кафедры не лишает Вас права претендовать на офицерское звание, для гражданских специалистов с высшим профильным образованием предусмотрена именно аттестация, а не военная кафедра как единственный путь. Кадры, по сути, подменяют требование "прохождения аттестации" требованием "военной кафедры", которого в законе как обязательного условия нет.
Получается два самостоятельных требования к части: 1) немедленно присвоить положенное по контракту звание прапорщика, 2) отдельно инициировать перевод на офицерскую должность врача через аттестацию, а не через голословный отказ.