Здравствуйте!
Сама по себе регистрация квартиры в реестре не зависит от гражданства собственника или от того, где он находится. Право собственности возникает только после государственной регистрации в Росреестр, и именно туда нужно подать документы.
Если квартира уже куплена по договору (например, договор купли-продажи подписан), но право ещё не зарегистрировано, вы можете подать документы от имени сына по доверенности. Важно, чтобы доверенность была оформлена надлежащим образом: если она выдана за пределами РФ, она должна быть либо нотариально удостоверена в консульстве РФ, либо легализована/апостилирована с переводом на русский язык.
Далее вы подаёте стандартный пакет документов через МФЦ или напрямую в Росреестр: договор, акт приёма-передачи, документы на объект, доверенность и ваш паспорт. При этом в доверенности должно быть прямо указано право на подачу документов и регистрацию права собственности.
Если же сделка уже прошла и право зарегистрировано (то есть есть выписка из ЕГРН), тогда ничего дополнительно «ставить в реестр» не нужно — квартира уже учтена в системе.
Обратите внимание, что если доверенность оформлена на иностранный паспорт сына, это допустимо, но все данные должны совпадать с договором, а перевод должен быть корректным.
С наилучшими пожеланиями, Юрий Михайлович!