Возможно ли мне его привезти в третью страну авиатранспортом и что необходимо сделать для этого, какие документы подготовить?

Перемещение ювелирных изделий и драгоценных металлов связано с законодательными ограничениями. При пересечении границы воздушным путём в Россию ювелирные изделия необходимо декларировать, если их совокупная стоимость превышает 10 000 евро. Если стоимость ниже этой суммы, то декларация не требуется, и пассажир может проходить через «зелёный коридор». 
Если приобретённые или подаренные за границей украшения стоят дороже, нужно следовать через «красный коридор», подать декларацию и уплатить пошлину — 30% от суммы превышения лимита. 
Важно, чтобы все товары были предназначены для личного пользования. Рекомендуется иметь документы, чеки или накладные, подтверждающие законность приобретения изделия и его точную стоимость. 
Российским таможенным контролем могут вводиться дополнительные требования или ограничения, поэтому стоит запросить у представителей актуальную информацию по интересующему вопросу. 

Здравствуйте! Перед тем как лететь обратитесь в таможенный орган в аэропорту или заранее в территориальное управление ФТС для консультации и уточнения требований; заполните пассажирскую таможенную декларацию (ПТД), указав в ней все детали о кольце (материал, камни, оценочная стоимость);
подготовьте все подтверждающие документы (оценка, чеки, дарственная и т. д.).Узнайте требования страны, куда вы планируете доставить кольцо. В некоторых государствах могут быть ограничения на ввоз драгоценных металлов и камней, а также требования к их декларированию и лицензированию.

    Добрый день.

    По классификации кольцо вывозимое  Вами рассматривается как товар для личного пользования. Ранее для указанного вида товаров  был  установлен лимит  в 25 000 $ -Соглашение о порядке перемещения физическими лицами товаров для личного пользования через таможенную границу таможенного союза и совершения таможенных операций, связанных с их выпуском docs.cntd.ru/document/902223765

В настоящий момент оно не применяется в силу ст. 444 ТК ЕАЭС 

5. До вступления в силу решения Комиссии, определяющего категории товаров, которые не относятся к товарам для личного пользования, применяется Соглашение о порядке перемещения физическими лицами товаров для личного пользования через таможенную границу таможенного союза и совершения таможенных операций, связанных с их выпуском, от 18 июня 2010 года.

      В настоящий же момент для вывоза товаров для личного пользования применяется  Решение Совета Евразийской экономической комиссии от 20.12.2017 N 107 «Об отдельных вопросах, связанных с товарами для личного пользования» которым в отношении ювелирных изделий,  вывозимых в качестве товара для личного пользования лимитов не установлено

www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_293595/92d3e3d03094ed76da5c15fa72b687f1cebd5931/

      Таким образом, если речь идет о вывозе кольца именно для личного пользования, вывоз  без декларирования не является нарушением. В силу статей 258 и 260 ТК ЕАЭС Вы не должны  его декларировать и не должны платить вывозных пошлин. Никаких нарушений в этом случае нет. 

При этом вполне вероятно возникнут ввозные таможенные пошлины в стране куда Вы кольцо ввозите( может быть рассмотрено в рамках чата)

       Все остальные  моменты могут быть детально разобраны в рамках отдельной полноценной услуги в чате( кнопочка рядом с фото юриста, доступна при входе на сайт через браузер)

С уважением Евгений Беляев

Уважаемый Станислав! Доброго времени суток!  В дополнение к мнениям уважаемых и профессиональных коллег:

Вопрос не простой, так как надо знать такие нюансы:

Вы сами ИП или как (см. customs.gov.ru/uchastnikam-ved/spravochnaya-informacziya/peremeshhenie-tovarov/dragoczennye-metally-(yuvelirnye-izdeliya) )?

вес кольца?

какая страна, где живет внучка?

есть документы о приобретении кольца?

При указанной сумме однозначно при вылете/уезде декларировать изделие и по факту дарения составить соответствующий договор (как бы смешно это не казалось — см. ст.161 ГК РФ), но нужны нюансы.

И однозначно стоит обратится с запросом в ФТС России с описанием всех нюансов, во избегания проблем (https://customs.gov.ru/press/pressa-o-nas/document/675001)