Мария, здравствуйте!
Вы имеете право требовать, чтобы предоставленное вам по программе «Земский доктор» жильё было пригодно для проживания, так как по общему правилу наймодатель обязан предоставить жильё, соответствующее назначению, и отвечает за недостатки, препятствующие пользованию (ст. 611, 612 ГК РФ). В вашем случае газовая служба уже указала, что поломка связана с износом оборудования, а не вашей виной, значит, обязанность по ремонту и замене котла и колонки лежит на собственнике жилья/больнице, а не на вас. Для служебного (специализированного) жилья действует логика ЖК РФ: наниматель имеет право требовать надлежащего содержания жилого помещения и проведения капитального ремонта (ст. 67 ЖК РФ по аналогии, с учётом статей о специализированном жилищном фонде — ст. 92, 100 ЖК РФ). Главврач не может просто «устно потребовать» освобождения жилья: при прекращении договора найма специализированного жилого помещения выселение допускается только в установленном порядке, а при вашем отказе — через суд (ст. 103 ЖК РФ), а не «по устной команде».
Поскольку вы продолжаете работать, ссылка на «освобождение ради других работников» юридически несостоятельна: вы относитесь к той категории, ради которой и предоставляется служебное жильё. Ваше непроживание обусловлено непригодностью жилья, а не отказом от исполнения трудовых обязанностей, поэтому это нельзя использовать против вас как претензию. Как медработник вы имеете право на создание руководителем медорганизации условий для выполнения профессиональных обязанностей, включая реализацию мер соцподдержки (ст. 72 ФЗ № 323-ФЗ «Об основах охраны здоровья граждан в РФ»), а игнорирование проблем с жильём и давление угрозами может рассматриваться как нарушение этих гарантий. С жалобой на действия главврача и больницы вы можете обратиться в Государственную инспекцию труда и прокуратуру, которые вправе привлечь должностных лиц к ответственности, в том числе по ст. 5.27 КоАП РФ (нарушение трудового законодательства).
Практически разумно: письменно обратиться к главврачу с требованием указать правовые основания для выселения и одновременно потребовать устранения недостатков/ремонта системы отопления и газового оборудования, приложив акт газовой службы. Параллельно можно готовить обращения в региональный Минздрав (департамент здравоохранения) с указанием, что из-за непригодного жилья и отказа в ремонте фактически срываются цели программы «Земский доктор». Вы имеете полное право не освобождать жильё по устной угрозе, не подписывать сомнительные бумаги «о добровольном освобождении без претензий» и, при необходимости, защищать свои права в суде, опираясь на ст. 611, 612 ГК РФ, ст. 92, 100, 103 ЖК РФ и ст. 72 ФЗ-323.