Работодатель хочет прописать в мои должностные обязанности ведение кадрового учёта подведомственных бюджетных учреждений (Дом культуры и библиотека)

Соглашения между управлением и учреждениями на ведение кадровой работы нет

Передача функций по ведению кадрового учета сторонней организации законодательством не запрещена, но это должно быть оформлено соответствующим договором. При этом ведение, хранение, учет и выдача трудовых книжек работников, ведение кадрового учета должны осуществляться исключительно лицами, состоящими в штате организации-работодателя. Передача этих функций иным лицам не соответствует трудовому законодательству.

Т.е. с Вашего согласия может быть возложена обязанность вести кадровую работу за подчиненные (подведомственные) организации в случае отсутствия у этих организаций своего кадрового органа (работника) по совмещению или по совместительству в другой организации, в том числе по Вашей инициативе, если, согласно ст. 11 ФЗ от 2 марта 2007 г. N 25-ФЗ «О муниципальной службе в Российской Федерации»:

2. Муниципальный служащий, за исключением муниципального служащего, замещающего должность главы местной администрации по контракту, вправе с предварительным письменным уведомлением представителя нанимателя (работодателя) выполнять иную оплачиваемую работу, если это не повлечет за собой конфликт интересов и если иное не предусмотрено настоящим Федеральным законом.

Конечно, согласно ст. 12 ФЗ-25, муниципальный служащий обязан:

2) исполнять должностные обязанности в соответствии с должностной инструкцией;

Но одно дело, если Вы будете исполнять обязанности по ведению кадрового учета в своей организации, и другое дело, если Вам пропишут исполнять обязанности по кадровой работе в других организациях, работодатели которых не являются Вашим работодателями — это нарушение и такие действия можно обжаловать.

Уточняющие вопросы вы можете задать мне здесь или в моем личном чате pravoved.ru/lawyer/1213967/.