Работникам тоже надо подать уведомление, им прописывать должность как работодатель сдал или менять трудовой договор и указать верную должность?

Добрый день, Алина!

Для исправления ситуации с некорректно указанной должностью в документах сотрудников, работающих по патенту, необходимо предпринять ряд последовательных шагов. Ваша основная цель — привести все документы в соответствие с должностью, указанной в патенте, поскольку патент разрешает работать только по той профессии, которая в нем указана.
Ситуация требует оперативного реагирования, чтобы избежать штрафов за нарушение миграционного законодательства (ст. 18.15 КоАП РФ).

Далее — подробнее

здравствуйте. 

У вас ошибка допущена в трудовом договоре, вам Алина в таком случае нужно заключить дополнительное соглашение с правильным названием должности.

Чтобы исправить ошибку в отчёте ЕФС-1, нужно отправить корректировочную форму. Если ошибка допущена в сведениях о трудовой деятельности, в новой форме ЕФС-1 сначала продублируют строку с ошибкой, в графе 11 ставят «X», чтобы её отменить, а затем добавляют строку с правильными сведениями

В штатном расписании и трудовом договоре с иностранным гражданином должность должна совпадать с той, что указана в патенте. Это требование закреплено в Федерального закона от 25.07.2002 №115-ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в России».

Здравствуйте,

До того, как иностранный гражданин направит уведомление о трудовой деятельности вместе с копией трудового договора, вносите изменения в трудовой договор относительности его должности с соответствии с патентом.

Если он хочет работать по иной специальности ( должности) значит ему нужно было обращаться в МВД для внесения изменений в патент 

Ст 13.3 ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации» от 25.07.2002 N 115-ФЗ

В случае необходимости осуществления иностранным гражданином трудовой деятельности по профессии (специальности, должности, виду трудовой деятельности), не указанной в патенте, данный иностранный гражданин вправе обратиться в территориальный орган федерального органа исполнительной власти в сфере внутренних дел, выдавший патент, непосредственно либо через подведомственное предприятие или уполномоченную организацию для внесения соответствующих изменений в сведения, содержащиеся в таком патенте.

А работодателю привлечение иностранца не по должности, указанной в патенте, чревато привлечение к ответственности по ч.1 ст 18.15 КоАП 

… привлечение к трудовой деятельности в Российской Федерации иностранного гражданина или лица без гражданства по профессии (специальности, должности, виду трудовой деятельности), не указанной в разрешении на работу или патенте, если разрешение на работу или патент содержит сведения о профессии (специальности, должности, виде трудовой деятельности)....

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от двух тысяч до пяти тысяч рублей; на должностных лиц — от двадцати пяти тысяч до пятидесяти тысяч рублей; на юридических лиц — от двухсот пятидесяти тысяч до восьмисот тысяч рублей либо административное приостановление деятельности на срок от четырнадцати до девяноста суток.

Если регион Москва, то там штрафы ещё больше по ч.4.

Так то Вы уже нарушили законодательство, месяц он у Вас работает не по специальности. Тут как органы МВД себя поведут ещё не ясно. 

Но в любом случае, исправлять ситуацию нужно. 

Либо же уволить по-тихому, как говорится, сейчас. Ему изменять идти специальность и вновь принять по специальности, которая у Вас по штате есть, по которой он сейчас работает. Но в любом случае нарушение у работодателя уже есть