Подскажите пожалуйста, кто по законодательству должен это делать?

Здравствуйте, Альбина! 

Провайдер несет ответственность за предоставление услуг и должен предложить решение (например, модернизация линии, замена оборудования).
УК несет ответственность только за согласование работ на общедомовом имуществе, но не за установку интернет-сервисов.
Вам нужно: Получить письменный ответ от провайдера, что увеличение скорости невозможно без модернизации дома.
Передать это в УК с просьбой о согласовании работ (прокладка кабеля, установка дополнительных линий).
Если УК отказывается, провайдер может обратиться в суд или госорган связи, так как увеличение скорости входит в его обязанности.

По закону технически модернизировать интернет обязан провайдер, но при этом он должен согласовать работы с собственником дома/УК.
Жилищная инспекция права, когда говорит «не знают», — это вне их компетенции: ЖК РФ не обязывает УК устанавливать интернет.