Вопрос: допустим я не собираюсь ходить в военкомат, какие будут последствия для меня и для моего работодателя?

Нет, я ничего не делал с данным направлением

 В силу ст. 10 Закона о воинской обязанности и военной службе обязательной является явка по вызову военкомата.

явиться в указанные в повестке военного комиссариата время и место либо по вызову местной администрации соответствующего поселения, муниципального или городского округа, осуществляющей первичный воинский учет;

Выданное Вам направление повесткой не является, а следовательно, у Вас не возникает обязанность по явки в военкомат.

Выдача Вам направления обусловлена обязанностью работодателя, установленная ст. 4 Закона о воинской обязанности и военной службе

1. Руководители, другие ответственные за военно-учетную работу должностные лица (работники) организаций обязаны:
вручать гражданам, не состоящим на воинском учете, но обязанным состоять на воинском учете, направление в военный комиссариат для постановки на воинский учет в соответствии с абзацами первым и третьим пункта 2 статьи 8 настоящего Федерального закона.

Тем самым Ваш работодатель снимает с себя ответственность в области воинского учета.

В отношении Вас подаются сведения о том, что Вы не состоите на воинском учете и Вам выдано направление.

В связи с чем — риск ответственности Вашего работодателя будет исключен.

Что касается Вас.

Вы говорите, что 

Пару лет назад сменил прописку, военкомат о новом месте жительства не уведомил.

Если место жительства Вы сменили после 14 апреля 2023 г. то Вы не обязаны были уведомлять военкомат о смене места жительства.

С указанной даты, согласно ст. 10 закона о воинской обязанности и военной службе

сообщить в письменной или электронной форме через Портал государственных и муниципальных услуг (функций)сведения о переезде на новое место пребывания, не подтвержденные регистрацией либо явиться в военный комиссариат в двухнедельный срок со дня наступления указанных событий (при отсутствии уведомления от военного комиссариата об изменении сведений в автоматизированном режиме с учетом требований статьи 8.1 настоящего Федерального закона);

В законе речь идет о смене места проживания, не подтвержденного регистрацией.

Изменение места жительства предполагает осуществление регистрации — поскольку Вы регистрировались по новому месту жительства, то обязанности уведомлять военкомат об этом у Вас не было.

Соответственно административная ответственность по ч. 2 ст. 21.5 КоАП РФ наступает за 

2. Несообщение гражданином в установленном федеральным законом порядке в военный комиссариат или орган, осуществляющий первичный воинский учет, об изменении семейного положения, образования, места работы (учебы) или должности,сведений о переезде на новое место пребывания, не подтвержденное регистрацией, -

Поэтому по формальным основаниям Вы также можете избежать административной ответственности за не уведомление военкомата об изменении места жительства.

Но вот тут есть нюанс — указанная норма вступила в силу 01.10.2023 г.

Если место жительство Вы меняли до указанной даты — то ст. 21.5 КоАП РФ действовала в следующей редакции

Неявка гражданина, состоящего или обязанного состоять на воинском учете, по вызову (повестке) военного комиссариата или иного органа, осуществляющего воинский учет, в установленные время и место без уважительной причины, неявка в установленный срок в военный комиссариат для постановки на воинский учет, снятия с воинского учета и внесения изменений в документы воинского учетапри переезде на новое место жительства, расположенное за пределами территории муниципального образования, место пребывания на срок более трех месяцев либо выезде из Российской Федерации на срок более шести месяцев или въезде в Российскую Федерацию, а равно несообщение в установленный срок в военный комиссариат или в иной орган, осуществляющий воинский учет, об изменении семейного положения, образования, места работы или должности, о переезде на новое место жительства, расположенное в пределах территории муниципального образования, или место пребывания -

Размер штрафа за подобное деяние установлен от пятисот до трех тысяч рублей.