Что делать, если пришел иск за нарушение авторских прав на музыку в студии фитнеса?

как то наказать таких людей, которые ходят по студиям, тайно записывают на диктофон, а потом так подставляют и подсаживают на деньги

 Добрый вечер! Здесь нет ничего тайного, если велась запись, то это доказательство, которое автор может предоставить в суде, запись велась открыто, в общественном месте. Вы сами пишете:

девушка, которая вовремя занятие просила сделать музыку погромче и на диктофон тайно, скрытно записывала музыку

 Это не запрещено.

Какие Ваши действия в данной ситуации — прежде всего, нужно прекратить использовать эту музыку во время занятий. 

Тут вариант либо выплатить этот иск, либо какой-то договор с ними заключать, чего они и хотят и платить им по 6000 р в месяц, чего они и хотят

 Это они в иске отразили? Не может быть, что это мошенники, которые не имеют никакого отношения к автору музыки? Думаю, что Вам не нужно ничего платить, пока решение суда (если дело будет рассматривать суд) не вступит в законную силу.

бумага с иском, списком песен и фамилий исполнителей, песни и прослушивание которых запрещены авторскими правами в общественных и других местах, список из 10 песен, иск на 400 000 рублей

Если они уже подали в суд, то нужно с иском знакомиться, эта услуга может быть оказана в чате на платной основе,  а также подготовка возражения на иск. По поводу 400 000 р.  — будет решать суд.