Можно ли выехать, предупредив арендодателя за 30 дней, и нужен ли новый договор?

Доп. соглашение можете прикрепить к вопросу?

Без учета доп.соглашения по расторжению Договора по инициативе Нанимателя вот  условия Договора

5.1. При прекращении найма и расторжении настоящего Договора, каждая сторона обязана предупредить другую сторону не позднее, чем за 30 дней до даты предполагаемого прекращения найма. 

5.4. В случае досрочного расторжения настоящего Договора по инициативе Нанимателя или нарушения им условий Договора, но при соблюдении Наймодателем всех его обязательств, авансируемая арендная плата, за непрожитые, предоплаченные дни и страховой депозит Нанимателю не возвращается.

Но, если срок Договора истек, то Вы можете предупредить за 30 дней и требовать возврата страхового депозита.

Срок договора найма у Вас истек.

Соответственно, можете предупредить как указал выше и съехать потребовав возврат страхового депозита.

Дополнительное соглашение истекло в январе, обязательно ли заключать новый договор или можно заключить дополнительное соглашение задним числом с указанием повышения цены с определенного месяца?

 Вы с учетом ст 425 ГК РФ вправе составить дополнительное соглашение о продлении срока действия договора, распространив его действия на отношения возникшие до момента его подписания.

2. Стороны вправе установить, что условия заключенного ими договора применяются к их отношениям, возникшим до заключения договора, если иное не установлено законом или не вытекает из существа соответствующих отношений.

И в указанном соглашении прописать условие об установлении размера платы за помещения, также указав, что она оплачивается или с даты подписания соглашения или с иной указанной даты.

При этом если Вы ему придаете обратную силу, то следует прописать условие о доплате повышенного размера платы за прошлый период.

И определить порядок расчетов.

Дополнительное соглашение, которое было заключено в том году

 Вы уточните, что в итоге Вы планируете — освободить помещение или продолжить им пользоваться дальше?