Что делать, если месяц работают без трудового договора и отказывают в выходном?

Да, можно и нужно действовать. Вот что делать по шагам:

Фиксируйте факт работы – сохраняйте любые доказательства: переписки, графики смен, свидетельские показания, фото/видео с рабочего места. Это пригодится в суде.
Требуйте письменного отказа – направьте работодателю заявление с требованием заключить трудовой договор (можно по email с уведомлением или вручить под подпись). Если откажут – это нарушение ст. 67 ТК РФ.
Обратитесь в трудовую инспекцию – они проведут проверку и могут оштрафовать работодателя (ст. 5.27 КоАП РФ). Заявление подается онлайн через онлайнинспекция.рф.
Подайте в суд – если договор так и не заключат, можно требовать:

признания трудовых отношений (ст. 19.1 ТК РФ),
оплаты всех переработок (ст. 152 ТК РФ),
компенсации морального вреда.
По переработкам – работа 6/1 с ненормированным графиком без доплат – нарушение ст. 91, 99 ТК РФ. Фиксируйте часы и требуйте оплаты в двойном размере (ст. 152 ТК РФ).
Работодатель нарушает закон, и вы можете заставить его ответить. Действуйте через инспекцию и суд – шансы на победу высокие.

Здравствуйте, Арина!

Подскажите пожалуйста, возможно ли что то с этим сделать?

Пишите заявление на выдачу Вам ТД, если не выдадут в течение трех — в суд. Конечно, чтобы выдать его надо чтобы Вы подписали. Вот тогда и смотрите, чио они там пишут Вам.

Также Вас должны были ознакомить с локальными актами работодателя до подписания ТД. Если не знакомили — также запросите.

Что еще можно сделать — приходите на работу и в кадры: где мой ТД. Ознакомьте с правилами внутреннего трудового распорядка. Пока не буду знать свой режим рабочего времени — работать не могу.

Если будут выгонять — например, — все Вы у нас не работаете — также в суд, на установление факта трудовых отношений. Работать, конечно, после этого будет проблематично, но иначе выхода не вижу, если не хотят по хорошему.

Могу помочь (платно), обращайтесь в чат pravoved.ru/lawyer/1213967/.