Как восстановить свидетельство о рождении при отсутствии записи в архиве ЗАГС?

Вы пишите, что

В ЗАГСе сказали что надо будет решать все через суд.

Речь идет об обращении в суд для установления факта регистрации рождения

1. Суд устанавливает факты, от которых зависит возникновение, изменение, прекращение личных или имущественных прав граждан, организаций.

3) факта регистрации рождения, усыновления (удочерения), брака, расторжения брака, смерти;

ст.264 ГПК РФ

Решение суда, которым установлен факт государственной регистрации рождения, является основанием для восстановления записи акта о рождении и выдачи свидетельства о государственной регистрации рождения

3. Запись акта гражданского состояния может быть восстановлена по поступлении в орган записи актов гражданского состояния вступившего в законную силу решения суда об установлении факта государственной регистрации акта гражданского состояния.

ст.74  Закона  № 143-ФЗ

Ознакомиться более подробно с  восстановление записей актов гражданского состояния на основании решения  суда  можете     в  ст.74 Закона №143-ФЗ  по ссылке https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_16758/de27016005f15becef8771cd6f6d33cdffe5fd67/

Если  потребуется помощь в подготовке иска можете его заказать в чате сайта, кнопка перехода рядом с моей фотографией