Екатерина, добрый день!
является ли законной такая постановка шлагбаума?
Необходимо исходить из того, какие разрешительные документы на шлагбаум у них будут.
другого подъезда к нашему участку нет
Фактическая установка шлагбаума и невозможность вам проехать к своим участкам юридически никак не связаны.
Здесь, скорее всего, необходимо говорить не о запрете установки шлагбаума, а об ограничении пользования дорогой.
Выход из данной ситуации (если не получается двум СНТ договориться между собой) либо обращение а Администрацию/прокуратуру с просьбой вынести в отношении СНТ Продмонтаж предостережение о том, что дорога может использоваться неограниченным кругом лиц в любое время либо решать это всё в судебном порядке в виде установления публичного сервитута (конечно, если без суда это не получиться сделать).
P.S.
Но, будьте готовы, что вам предложат ездить в объезд на вполне законных основаниях.