Как поступить в такой ситуации?

Добрый вечер

в соответствии с статья 57 Трудового кодекса РФ: 

В трудовом договоре указываются:

сведения о документах, удостоверяющих личность работника и работодателя — физического лица;

Поэтому, нет обязательного требования именно к национальному паспорту, тем более, граждане некоторых стран по нац. паспорту в Россию попасть не могут, только по заграну.

А в  соответствии с статьей 10 Фз от 25.07.2002 N 115-ФЗ  «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации»

Статья 10. Документы, удостоверяющие личность иностранного гражданина в Российской Федерации

1. Документами, удостоверяющими личность иностранного гражданина в Российской Федерации, являются паспорт иностранного гражданина либо иной документ, установленный федеральным законом или признаваемый в соответствии с международным договором Российской Федерации в качестве документа, удостоверяющего личность иностранного гражданина.

Поэтому, просите оформить на загран, чтобы не было мороки с СФР.
Но, если Вы (муж) имеет право находиться на территории РФ и без заграна, то можно обратиться в СФР или МФЦ с заявлением об изменении СНИЛС в соответствии с внутренним паспортом.
В соответствии с Приказом СФР от 30.10.2023 N 2153 «Об утверждении форм и форматов сведений, используемых для регистрации граждан в системе индивидуального (персонифицированного) учета, и порядка заполнения форм указанных сведений» — паспорт иностранного гражданина является документом, удостоверяющим личность.
Поэтому, в обоих случаях, решите, что проще — попросить оформить по заграну на работе, либо идти в СФР, писать заявление на смену, и пусть в случае отказа дают письменный ответ (отказ)

Добрый день Дарья. В соответствии с приказом МВД России от 16.11.2022 Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по выдаче иностранным гражданам и лицам без гражданства вида на жительство, замене иностранным гражданам и лицам без гражданства вида на жительство в Российской Федерации следует: 

187.Основанием для исправления опечаток и (или) ошибок, допущенных в виде на жительство, является личное обращение заявителя с заявлением об исправлении опечаток и (или) ошибок и прилагаемыми к нему документами, предусмотренными пунктом 44 Административного регламента.

При подаче заявления об исправлении ошибок в электронной форме с использованием Единого портала заявителем используется простая электронная подпись и (или) усиленная неквалифицированная электронная подпись физического лица, сертификат ключа проверки которой создан и используется в инфраструктуре, обеспечивающей информационно-технологическое взаимодействие информационных систем, используемых для предоставления государственных и муниципальных услуг в электронной форме в установленном Правительством Российской Федерации порядке.

188. Сотрудник, ответственный за прием и регистрацию заявлений об исправлении опечаток и (или) ошибок:

в день обращения заявителя регистрирует заявление об исправлении опечаток и (или) ошибок выдает заявителю взамен вида на жительство на период рассмотрения указанного заявления справку (рекомендуемый образец приведен в приложении N 9 к Административному регламенту) о приеме заявления;

в срок, не превышающий один рабочий день с даты регистрации заявления об исправлении опечаток и (или) ошибок устанавливает факт наличия технического брака, опечаток, ошибок, или необоснованно внесенных при выдаче вида на жительство, отметок или записей в виде на жительство, выданном в результате предоставления государственной услуги, приобщает к указанному заявлению, заявление, на основании которого был оформлен подлежащий замене вид на жительство и передает их уполномоченному руководителю для принятия решения об оформлении нового вида на жительство, либо отказе в исправлении опечаток и (или) ошибок, допущенных в документах, выданных в результате предоставления государственной услуги.

189. На основании представленных документов не позднее рабочего дня, следующего за днем поступления к нему заявления об исправлении опечаток и (или) ошибок, начальник (заместитель начальника) подразделения по вопросам миграции принимает решение об оформлении нового вида на жительство либо отказе в исправлении опечаток и (или) ошибок, допущенных в документах, выданных в результате предоставления государственной услуги.

После принятия указанного решения, заявление об исправлении опечаток и (или) ошибок и документы, предусмотренные подпунктами 44.2 — 44.4 пункта 44 Административного регламента, в течение одного рабочего дня передаются сотруднику, уполномоченному на подготовку материалов для изготовления вида на жительство, либо сотруднику, ответственному за направление уведомления об отказе.

190. Сотрудник, уполномоченный на подготовку материалов для изготовления вида на жительство, осуществляет следующие действия:

190.1. В отношении лица без гражданства формирует файл в соответствии с пунктом 159 Административного регламента.

190.2. В отношении иностранного гражданина осуществляет оформление вида на жительство в соответствии с пунктами 147 и 156 Административного регламента.

В графе «Номер, дата принятия решения» указываются реквизиты ранее выданного вида на жительство, а в графе «Дата выдачи документа» указывается дата выдачи нового вида на жительство.

191. За выдачу нового вида на жительство взамен испорченного государственная пошлина с заявителя не взимается.

192. Оформление нового вида на жительство либо принятие решения об отказе в исправлении ошибок и (или) опечаток в документах, выданных в результате предоставления государственной услуги, по заявлению, предусмотренному подпунктом 44.1 пункта 44 Административного регламента, осуществляется:

192.1. В соответствии с подпунктом 190.1 пункта 190 Административного регламента — в срок, не превышающий 15 рабочих дней со дня приема заявления об исправлении ошибок.

192.2. В соответствии с подпунктом 190.2 пункта 190 Административного регламента — в срок, не превышающий семи рабочих дней со дня приема заявления об исправлении ошибок.

С учетом вышеизложенного Вы сначала можете исправить ВНЖ, а затем и СНИЛС. Удачи Вам.

Вы не указали гражданином какой страны является Ваш супруг и имеет ли он право пересекать границу РФ и пребывать на территории РФ на основании внутреннего паспорта страны своего гражданства? 

По общему правилу, документом, удостоверяющим личность иностранного гражданина за рубежом, является иностранный заграничный паспорт. Исключением являются только те страны, с которыми заключен соответствующий международный договор.

Предположу, что, если ВНЖ было оформлено именно на ин заграничный паспорт, то страна гражданства Вашего супруга, не входит в категорию стран, граждане которых имеет право пребывать за рубежом на основании своего национального внутреннего паспорта.

Таким образом, основным документом, удостоверяющим личность Вашего супруга  на территории России, является его иностранный заграничный паспорт. И все документы, полученные на территории РФ, должны соответствовать установочным данным заграничного паспорта ин гражданина.

ВНЖ РФ является документом, подтверждающим право ин гражданина постоянно проживать (и работать) на территории РФ.