Помогите, пожалуйста, разобраться, правильно ли я понимаю, что работаю неофициально, раз не подписывала приказ и не выдали трудовой договор, что стаж не идёт, раз нет отчислений?

Дополню, ст.192 упомянутого ТК РФ установлены все виды дисциплинарных взысканий, перечень исчерпывающий. И данной нормой не предусмотрено такое дисциплинарное взыскание, как штраф с работника. Более того, ст.192 ТК РФ установлено:

Не допускается применение дисциплинарных взысканий, не предусмотренных федеральными законами, уставами и положениями о дисциплине.

Таким образом, действия работодателя: не оформление трудового договора в письменном виде и применение штрафа- не правомерны. В этом случае, Вы вправе направить жалобу в  районную Трудовую Инспекцию, или обратиться в прокуратуру.

С учётом моего ответа выше далее:

Если данные правоотношения носили фактически характер трудовых, Вы  вправе  в судебном порядке заявить требования о признании их таковыми, предоставить суду доказательства  таких обстоятельств, которые будут свидетельствовать  о  соглашении в рамках которого он  лично выполнял    трудовую  функцию за плату, подчинялся    правилам внутреннего трудового распорядка, при его фактическом допущении к работе с ведома или по поручению работодателя, либо  уполномоченного на это представителя работодателя. при наличии таковых вопрос будет решен положительно.

Соответственно потребовать взыскать заработную плату, компенсацию морального вреда.

Т.е. нужно вопрос решать в судебном порядке.

К примеру с соответствующей информацией можете ознакомиться по следующей ссылке:

Верховный суд помог работникам установить трудовые отношения-https://pravo.ru/story/210028/

Не следует забывать  о возможной  административной ответственности для работодателя, который не оформил согласно закону трудовые отношения с работником.

Она предусмотрена следующими статьями законодательства РФ:

КоАП РФ Статья 5.27. Нарушение трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права-http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34661/7ff50b874c8cbce814266fd45eb5fff8b30449b6/

П. 1 ст. 123 НК РФ  штраф  20% от суммы налога, по ссылке:http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_19671/539d6ca4c0a10b10485324dbcec142f73acb015c/

КоАП РФ Статья 15.33.2. Нарушение установленных законодательством Российской Федерации об индивидуальном (персонифицированном) учете в системах обязательного пенсионного страхования и обязательного социального страхования порядка и сроков представления сведений (документов) в территориальные органы Фонда пенсионного и социального страхования Российской Федерации -https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34661/61c5a1d520a326c0a8396c3e5a73c2b527ee776a/

Также в судебном порядке работник вправе заявить требование обязать работодателя уплатить налоги и страховые взносы.

Что относится к доказательствам, приводится  в статьях:

ГПК РФ Статья 55. Доказательства -https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_39570/b48406042a309ee368f395fb6f3be1d43c7cbfc2/

Из статьи также следует:

Эти сведения могут быть получены из объяснений сторон и третьих лиц, показаний свидетелей,…
ГПК РФ Статья 71. Письменные доказательства-https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_39570/44ad4c740319c88c2f8fc17204d345a23e8abc29/

Рекомендую ознакомиться с разъяснениями по следующей ссылке:https://www.garant.ru/news/1200398/

Дополнительно  можете ознакомиться с интересной информацией одного судебного спора по следующей ссылке:

За отказ признать трудовые отношения работодатель заплатит более 2,1 млн рублей-https://www.advgazeta.ru/novosti/za-otkaz-priznat-trudovye-otnosheniya-rabotodatel-zaplatit-bolee-2-1-mln-rubley/

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

.

С учётом моих ответов выше далее:

.....  На днях работодатель ввёл штрафные санкции (удержание из зарплаты) за ошибки в работе. Это законно?

В рамках  трудовых отношений. это является незаконным, так как в Трудовом кодексе РФ нет такого вида дисциплинарного взыскания как штраф.

Общие положения закрепляет статья ТК РФ Статья 192. Дисциплинарные взыскания, можете ознакомиться полностью пройдя по следующей ссылке:https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/3a3bad3e8cac339021393236fd85d5a46a357735/

С дополнительными разъяснениями органов прокуратуры, можете ознакомиться также по следующей официальной ссылке:

Прокурор разъясняет
Действия работодателей по наложению на работников штрафов- неправомерны.-https://epp.genproc.gov.ru/web/proc_74/activity/legal-education/explain?item=25167949

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

.