Добрый день. ни в коем случае не идите на поводу у Вашего работодателя.
Во-первых, если Вы работаете у него постоянно, подчиняетесь правилам внутреннего трудового распорядка и т.д., то это трудовые отношения, которые должны оформляться ТОЛЬКО трудовым договором.
Во-вторых, заключение трудового договора на месяц — это срочный трудовой договор, для которого необходимы основания.
Ваш работодатель, скорее всего, имеет ввиду гражданско-правовой договор. При заключении такого договора он хочет ограничить себя в ответственности перед Вами, снизить размеры оплат в ФСС и ПФР и т.д. При заключении гражданско-правового договора Вы лишитесь всех гарантий, предусмотренных трудовым законодательством, например, оплата больничных, предоставление отпуска и т.д.