Куда можно написать на нее заявление?

Могу Вам посоветовать обратиться в суд с заявлением о признании ее недееспособной.

Согласно ст.281 ГПК РФ

Дело о признании гражданина недееспособным вследствие психического расстройства может быть возбуждено в суде на основании заявления членов его семьи.

В последующем у Вас на руках будет решение суда соответствующее, подтверждающее, что мама не может понимать значение своих действий  и руководить ими.

Согласно статье 29 Закона  РФ «О психиатрической помощи и гарантиях прав граждан при ее оказании» от 02.07.1992 N 3185-1 

Лицо, страдающее психическим расстройством, может быть госпитализировано в медицинскую организацию, оказывающую психиатрическую помощь в стационарных условиях, без его согласия либо без согласия одного из родителей или иного законного представителя до постановления судьи, если его психиатрическое обследование или лечение возможны только в стационарных условиях, а психическое расстройство является тяжелым и обусловливает:

 а) его непосредственную опасность для себя или окружающих, или

 б) его беспомощность, то есть неспособность самостоятельно удовлетворять основные жизненные потребности, или

 в) существенный вред его здоровью вследствие ухудшения психического состояния, если лицо будет оставлено без психиатрической помощи.

Полагаю, что имеет смысл вызвать врачей на дом.

То есть вы можете вызвать скорую и психиатра.

Пусть проведут лечения, возможно выпишут лекарства.

При обстоятельствах, изложенных вами, уголовное преследование маловероятно.

У нее было такое поведение и к соседям, но ( дом на 8 квартир) сейчас соседей почти не осталось, всего несколько людей. Они ее избивают.

Обратитесь в полицию в связи с нанесением побоев. Необходимо их зафиксировать.

Избиение в любом случаи неправомерно.

Соседей можно попробовать привлечь к административной ответственности.

КоАП РФ Статья 6.1.1. Побои \ КонсультантПлюс (consultant.ru)

Если заявление не принимают ( принять обязаны) можете написать его на официальный сайт ГУВД.