Мне нужно будет выполнить установленную норму за 23 дня (184 ч. В данном случае) или же норму согласно графику сменности (168 ч. В данном случае)?

Здравствуйте!

Какой учетный период у Вас установлен при суммированном учете рабочего времени? 

Здравствуйте Александр, исходя из Вашего вопроса усматривается что на предприятии (организации) введена сменная работ и применяется суммированный учет рабочего времени. Например по окончании года, норма рабочих часов будет выровнена.

Если же применяется только сменный режим работы по графикам сменности и не применяется суммированный учет рабочего времени, то это уже проблемы работодателя и он неправильно составил график сменности. В таком случае Вам отрабатывать часы до месячной нормы не нужно.

Чтобы точно проанализировать ситуацию необходимо ознакомится с Вашим трудовым договором и локальными актами организации (ст. 8, 22, 57 ТК РФ).

При этом, если в конце учетного периода выявлена недоработка по причине того, что работодатель неправильно спланировал и составил график сменности, работодатель обязан выплатить работнику заработную плату в размере не ниже средней заработной платы работника за каждый месяц работы. 

ст 155 ТК РФ

При невыполнении норм труда, неисполнении трудовых (должностных) обязанностей по вине работодателя оплата труда производится в размере не ниже средней заработной платы работника, рассчитанной пропорционально фактически отработанному времени.

С уважением, Евгений

Здравствуйте! Вы должны работать согласно своему графику сменности.

Кроме того, согласно ст.103 ТК РФ 

Работа в течение двух смен подряд запрещается, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом.

При сменной работе, когда невозможно с учетом характера работы соблюсти еженедельную продолжительность рабочего времени  40 часов в неделю применяется суммированный учет рабочего времени.

Учетный период не может превышать 1 год согласно ст. 104 ТК РФ. Если же у Вас введен учетный период месяц, и и по вине работодателя, из-за некорректного составления графика сменности у Вас норма (нормальное число рабочих часов за учетный период) не соблюдена, то работодатель обязан оплатить согласно абз. 1 ст. 155 ТК РФ 

При невыполнении норм труда, неисполнении трудовых (должностных) обязанностей по вине работодателя оплата труда производится в размере не ниже средней заработной платы работника, рассчитанной пропорционально фактически отработанному времени.

Смотрите также Постановление Правительства РФ от 24.12.2007 N 922 «Об особенностях порядка исчисления средней заработной платы» п. 13 

Ссылка на документ

https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_73789/00737bae76cc5b4913b4eaf35b39060ca04b85be/

В правилах внутренного трудового рапорядка устанавливается  порядок введения суммированного учета рабочего времени Вы можете с ним подробно ознакомиться.

Вам нужно работать согласно своему графику работы, он обязателен как для работника, так и для работодателя.