И нужно ли ей заранее предупреждать начальство об уходе, писать заявление на увольнение?

Здравствуйте, Наталья.

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.

В вашей ситуации, если вы хотите получить расчет за фактически отработанное время, то вам нужно будет обратиться в трудовую инспекцию с жалобой на работодателя. Но Вам нужно иметь подтверждение работы — переписка в мессенджерах или свидетельские показания например. 

Обычно за не оформление работников, невыплату заработной платы полагаются штрафы и проверки для нерадивых работодателей. Поэтому оформите претензию к руководителю и по его ответу обращайтесь в контролирующий орган.