Или для этого он обязательно должен быть ее собственником?

Здравствуйте!

в соответствии со ст.34 СК имущество приобретенное в браке считается совместным независимо от того, на имя кого из супругов оно приобретено либо на имя кого или кем из супругов внесены денежные средства.

поэтому если у Вас с супругом нет брачного договора или соглашения о разделе по которому эта квартира Ваше личное имущество, то она считается совместной и в этом случае

Я приобретаю квартиру в ипотеку, оформленную на меня (с согласия супруга), может ли супруг в будущем претендовать на возмещение налогового вычета с покупки квартиры, не являясь её собственником?

да, Ваш супруг как и Вы имеет право на получение имущественного налогового вычета по пп.3 и 4 п.1 ст.220 НК, если он ранее данное право не использовал.

Марина!

Если квартира приобретается в период брака, то она становится вашей совместной собственностью, так сказано в статье 34 Семейного Кодекса РФ:

Общим имуществом супругов являются также приобретенные за счет общих доходов супругов движимые и недвижимые вещи,… и любое другое нажитое супругами в период брака имущество независимо от того, на имя кого из супругов оно приобретено либо на имя кого или кем из супругов внесены денежные средства.

Это означает, что супруг также становится по закону собственником квартиры после её приобретения и вправе, если имеет официально облагаемый подоходным налогом доход, воспользоваться положениями статьи 220 Налогового Кодекса РФ в части имущественного налогового вычета в сумме расходов на приобретение квартиры, включая и проценты по ипотеке, каждый из супругов-собственников вправе претендовать на имущественный налоговый вычет в общей сумме до 3 000 000 рублей (с учётом процентов по ипотеке).

Об этом, в частности, говорят, такие положения статьи 220 Налогового Кодекса РФ о документах, которые могут потребоваться для получения указанного вычета (в том числе):

заявление налогоплательщиков-супругов о распределении понесенных ими расходов, предусмотренных подпунктами 3 и 4 пункта 1 настоящей статьи, — при строительстве или приобретении на территории Российской Федерации такими налогоплательщиками в период брака в совместную собственность одного или нескольких объектов имущества, указанных в подпункте 3 пункта 1 настоящей статьи, в том числе с использованием кредитных денежных средств. Размеры расходов, распределяемых супругами в указанных в настоящем абзаце случаях, определяются исходя из фактически произведенных расходов с учетом ограничений, установленных настоящим пунктом и пунктом 4 настоящей статьи;

То есть супруги, как участники совместной собственности, вправе подать заявление в налоговый орган о распределении имущественного налогового вычета в равных долях или в пользу одного из супругов или не подавать такого заявления и тогда просто кто-то один будет использовать право на вычет в предельных суммах, установленных законом. Если у вас обоих есть облагаемый подоходным налогом доход, то каждый может рассчитывать на имущественный вычет в установленных законом размерах.