Подростку 17 лет, подписывал трудовой договор самостоятельно (без подписи законного представителя), может ли его законный представитель написать заявление на увольнение за подростка?

Статья 20 ТК РФ. Стороны трудовых отношений

Сторонами трудовых отношений являются работник и работодатель.
Работник — физическое лицо, вступившее в трудовые отношения с работодателем.
Если иное не предусмотрено настоящим Кодексом, другими федеральными законами, вступать в трудовые отношения в качестве работников имеют право лица, достигшие возраста шестнадцати лет, а в случаях и порядке, которые установлены настоящим Кодексом, — также лица, не достигшие указанного возраста.

Не может. Подросток такие вопросы решает сам самостоятельно.