Может ли этим заниматься ОБЭП и уведомление быть с этим связано?

Если просто был звонок, то у Вас есть выбор ждать повестки или явиться по просьбе по телефону. В любом случае, если имеется необходимость у сотрудников полиции и вы будете настаивать на повестке Вас пригласят по повестке.

Если это так то в отделе имеется рапорт, зарегистрированный в порядке ст. 143 УПК РФ или материал проверки в порядке ст. 144-145 УПК РФ, на основании чего с вас должно быть получено объяснение. 

Нужно выяснить по какому именно поводу вы привлекаетесь. Если дело не возбуждено объяснения какие-либо давать вы не обязаны. Если речь идет о перспективе возбуждения уголовного дела стоит обратиться за помощью к адвокату, чтобы прибыл в ОБЭП вместе с Вами. Перед этим естественно проконсультироваться по возможным вопросам сотрудников ОБЭП. Адвокат позволит избежать давления на Вас и обезопасит от неверных решений. 

Как теперь лучше поступить? Позвонить им и приехать? Брать с собой адвоката?

Для начала Вам нужно сесть и подумать, в связи с чем Вас могут туда вызывать. Если ничего противоправного Вы не совершали, Вы можете позвонить Головкину А.В. либо Журавлеву А.В. (лучше сначала исполнителю) и поинтересоваться, по поводу чего Вас вызывают.

Ничего не говорить по 51 статье?

Такое право у Вас есть, однако опять же, сначала необходимо понять, в связи с чем Вас вызывают.

Год назад меня возили в УВД тк. сосед им написал, что я живу в квартире, снимая ее без договора. Может ли этим заниматься ОБЭП и уведомление быть с этим связано?

То, что Вы проживаете в квартире без договора, не образует состава какого-либо преступления, и привлечь Вас за это к уголовной ответственности невозможно. Просто статьи такой в УК РФ нет.

Могут ли применить в отношении меня штраф или арест по статье 19.3?

Вероятность стремится к нулю, поскольку для привлечения к административной ответственности по данной норме необходимо наличие умысла на неповиновение законному распоряжению. Проблематично доказать наличие такого умысла, когда непонятно, как вообще к Вам попала эта повестка.

Позвонить им и приехать? Брать с собой адвоката? Ничего не говорить по 51 статье?

Созвонитесь, чтобы договориться. Адвоката брать, если вопросы будут к вам как к заподозренному лицу.

Лучше не ст.51 Конституции РФ, а пользоваться моментом того, что прошло много времени и сейчас не помните всех обстоятельств.

Но если есть вопросы к вам как к заподозренному лицу — лучше всего брать адвоката. 

Год назад меня возили в УВД тк. сосед им написал, что я живу в квартире, снимая ее без договора. Может ли этим заниматься ОБЭП и уведомление быть с этим связано?

Скорее всего нет, так как тут не будет состава экономического преступления в ваших действиях. Обычно вопросы регистрации отдают участковым.

Но тут возможен вопрос к арендодателю по различным моментам. И вас могут опросить как будущего свидетеля. 

Как теперь лучше поступить? Позвонить им и приехать? Брать с собой адвоката? Ничего не говорить по 51 статье?

 Оптимально, хотя бы для получения большей информации с чем именно связан данный вызов стоит явиться по указанному адресу. 

Вы всегда сможете отказаться от дачи пояснений, ссылаясь на ст. 51 Конституции РФ.

При этом до Вас в любом случае обязаны довести содержание проводимых мероприятий и причины Вашего вызова, а с учетом полученной информации уже объективно можно говорить о возможной линии поведения.

Исходя из того, что проверка проводится по заявлению, поданному в декабре 2022 г. — вряд ли она связана с тем, что на Вас подали жалобу год назад по факту Вашего проживания без договора.

Возможно проверка проводится в отношении лица, у которого Вы проживаете, по факту осуществления им незаконной предпринимательской деятельности по сдаче квартиры.

Выяснить причины вызова можно только при общении с сотрудником, который Вас вызывает. 

А Вы можете выложить фото уведомления?

Согласно

Федеральный закон от 07.02.2011 N 3-ФЗ  «О полиции»
 
Статья 13. Права полиции
 

 1. Полиции для выполнения возложенных на нее обязанностей предоставляются следующие права:

3) вызывать в полицию граждан и должностных лиц по расследуемым уголовным делам и находящимся в производстве делам об административных правонарушениях, а также в связи с проверкой зарегистрированных в установленном порядке заявлений и сообщений о преступлениях, об административных правонарушениях, о происшествиях, разрешение которых отнесено к компетенции полиции; получать по таким делам, материалам, заявлениям и сообщениям, в том числе по поручениям следователя и дознавателя, необходимые объяснения, справки, документы (их копии); подвергать приводу в полицию в случаях и порядке, предусмотренных федеральным законом, граждан и должностных лиц, уклоняющихся без уважительных причин от явки по вызову;